якобиан (переход от R^4 к R^3)

[ert]

пусть есть бесконечно малый элемент объема $dy_1dy_2dy_3dy_4$ и требуется перейти от координат $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ к $(x_1,x_2,x_3)$ где $y_1=x_1,y_2=5x_3,y_3=4x_2^2-2x_3,y_4=x_3\sin(x_2)$ получим $dy_1dy_2dy_3dy_4=Jdx_1dx_2dx_3$ где $J$-якобиан, но что за него в данном случае брать матрица Якоби получится 3 на 4, причем ранг этой матрицы 3 ?

[Bulinator]

ert, Ваше преобразование вырождено. Якобиан равен нулю(ну или можно сказать, что в Вашем случае его просто не существует).

-- Вс ноя 13, 2011 15:26:02 --

Рассмотрим более простой прмер. Трехмерное про-во $(y_1,y_2,y_3)$ с элементом объема $dy_1dy_2dy_3$. Сделаем замену:
$y_1=x_1$, $y_2=x_2$ а $y_3=x_1x_2$ либо любой другой функции. Можете представить как будет выражаться элемент трехмерного объема в координатах $(x_1,x_2)$?
Конечно нет.

[ewert]

ert в сообщении #503204 писал(а):

требуется перейти от координат $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ к $(x_1,x_2,x_3)$ где $y_1=x_1,y_2=5x_3,y_3=4x_2^2-2x_3,y_4=x_3\sin(x_2)$

Это означает, что Вы задаёте в четырёхмерном пространстве некоторое трёхмерное многообразие. И можно лишь ставить вопрос о том, как выражается трёхмерный элементарный объём на этом многообразии через произведение $dx_1dx_2dx_3$. Дифференциалы на входе и выходе связаны соотношением $d\vec y=J\cdot d\vec x$, где $J$ -- это матрица Якоби (но не якобиан, естественно). Тогда $dV=\sqrt{\det G}\cdot dx_1dx_2dx_3$, где $G$ -- это матрица Грама, построенная по столбцам матрицы $J$.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #503238 писал(а):

Дифференциалы на входе и выходе связаны соотношением $d\vec y=J\cdot d\vec x$, где $J$ -- это матрица Якоби

и что эта формула означает? 4 дифференциала=матрица*три дифференциала. Ссылочкой пожалуйста еще снабдите на учебник, в котором такая формула написана.

Если речь идет о сужении 4-формы на трехмерное многообразие, то результат, как известно -- 0.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #503254 писал(а):

и что эта формула означает? 4 дифференциала=матрица*три дифференциала. Ссылочкой пожалуйста еще снабдите на учебник, в котором такая формула написана.

Это означает, что $d\vec x\equiv\begin{pmatrix}dx_1\\dx_2\\dx_3\end{pmatrix}$. Ссылка: любой нормальный учебник.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #503255 писал(а):

что $d\vec x\equiv\begin{pmatrix}dx_1\\dx_2\\dx_3\end{pmatrix}$

а какое это отношение имеет к стартовому посту? там про объемы говорилось

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #503258 писал(а):

а какое это отношение имеет к стартовому посту? там про объемы говорилось

ewert в сообщении #503238 писал(а):

И можно лишь ставить вопрос о том, как выражается трёхмерный элементарный объём на этом многообразии через произведение $dx_1dx_2dx_3$.

И этот вопрос вполне содержателен.

[ert]

спасибо ewert за полезную информацию.