Дифференциальные уравнения

[Vlad1992]

Нужно решить 4 дифференциальных уравнения
1)$(1-x\cdot y + x^2 \cdot y^2)dx=x^2dy$
2)$y'=\frac{2\cdot x\cdot y}{x^2-y^2}$
3) $y'+y=\cos(x)$
4)$x\cdot y'+y=y^2 \cdot \ln(x)$
начнем с первого уравнения, я не могу понять какой вид оно имеет, точно не с разделяющимися переменными и точно не в полных диференциалах, и не однородное...хотель бы узнать ваше мнение

[EtCetera]

Vlad1992

Vlad1992 в сообщении #503111 писал(а):

точно не с разделяющимися переменными

Как ни странно, именно с ними. Но только после введения очевидной-напрашивающейся замены $z=xy$.

[3.14]

Вроде так :
1) $ x^2\cdot y^2 - x\cdot y + 1 =x^2\cdot y'$
$ (x\cdot y - 1)^2 + x\cdot y = x^2\cdot y'$
$ u = x\cdot y \Rightarrow du = y\cdot dx + x \cdot dy$
$ \frac {du} {dx} = y + x\cdot \frac {dy} {dx} $
$ u' = y + x\cdot y'$
$ x(u' - y) = x^2\cdot y' $
$ x\cdot u' - u = x^2\cdot y' $
$ (u -1)^2 + u = x\cdot u' - u $
$ x\cdot u' = u^2 + 1 $
$ \frac {du} {u^2 + 1} = \frac {dx} {x} $
$ \arctg (u) = \ln (x) + C $
$ u = \tg (\ln (x) + C) $
$ y = \frac {\tg (\ln (x) + C)} {x} $

P.S. Кажется, так такие вещи делаются(не помню многое)..извините за подробность изложения..просто получаю удовольствие от набора в Тех'е))

[SpBTimes]

2) замена $y= z(x) \cdot x$
3) обычное линейное
4) Бернулли

[Vlad1992]

так, второе решил, а обычное линейное как решается?

[myra_panama]

Vlad1992 в сообщении #503151 писал(а):

а обычное линейное как решается?

Смотрите Учебники по диффур....

(Оффтоп)

с начало решите уравнение
$y'+y=0$
потом метод вариации постоянного...

[Vlad1992]

так я получил $\ln(y)=-x+c$

-- Вс ноя 13, 2011 21:39:50 --

а как дальше применить метод вариации постоянного?

[SpBTimes]

выразите y. Потом применяйте вариацию

[Vlad1992]

$y=c \cdot \exp(-x)$ а куда это подставлять, я просто не очень разбрался в чем заключется метод вариации, в нете криво написано((

[arseniiv]

Теперь вообразите, что $c$ — это функция от $x$. Подставьте полученное сейчас $y = c(x) \exp(-x)$ в уравнение. У вас получится теперь уравнение c $x$ и $c(x)$. Решив его, найдёте $c(x)$ и сможете подставить в $y = c(x) \exp(-x)$ и получить ответное выражение для $y$!

-- Пн ноя 14, 2011 01:50:11 --

Вроде не ошибся.

[Vlad1992]

так а вместо y' я что подставлю?

[SpBTimes]

Подставляете $(c(x) \cdot e^{-x})'$