Вероятность

[user88]

Есть случайная величина x.
С какой вероятностью среднее арифметическое в результате N получений значений x будет меньше A?

[Евгений Машеров]

Распределение?

[user88]

Евгений Машеров в сообщении #502977 писал(а):

Распределение?

Известно $x_1, x_2, ..., x_n, p_1, p_2, ..., p_n$.

[--mS--]

Почитайте про законы больших чисел и центральную предельную теорему.

[Евгений Машеров]

В столь общей постановке простого решения нет. Сложное, в смысле трудоёмкое, состоит в том, чтобы перебрать все наборы $x_i$ из N элементов с повторениями, и для тех из них, для которых сумма будет не превышать NA, просуммировать вероятности их получения.
При, скажем, среднем по трём точкам и 5 элементам в выборке перебрать все 125 вариантов можно, при известной усидчивости, даже вручную. Но уже 10 элементов и среднее по 10 точкам это 10 миллиардов вариантов и даже с ЭВМ не вполне быстро.
Можно ускорить некоторыми алгоритмическими трюками, например, отсекая варианты, заведомо ненужные. Скажем, если все $x_i \ge 0$ (к этому случаю свести достаточно просто и очевидно), то можно упорядочивать их по убыванию и перебирать, начиная с максимального числа наибольших элементов, а когда сумма уже больше NA - обрывать перебор (только не забывать, что в сумму вероятности таких наборов должны входить с весом $\frac {N!} {k_1!k_2!...k_l!}$, где $k_i$ кратность соответствующего элемента. Порядка на два так сложность сбить можно (программа, пожалуй, рекурсивна будет...)
Если число слагаемых в среднем N достаточно велико, то можно использовать аппроксимацию нормальным распределением, но что значит "велико" - полагаю, сотня и более членов, при мало отличающихся друг от друга $x_i$, а также $p_i$. Дисперсию и среднее получить понятно как. И так же можно получить высшие моменты, и по ним оценить хотя бы асимметрию и эксцесс и принять решение о допустимости нормального приближения (или аппроксимировать чем-то с поправкой на асимметрию и эксцесс, типа Эджворта).
Ну и универсальная отмычка - монтекарлить. Но испытаний надо много.