Найдите площадь фигуры (двойной интеграл)

[suel]

Здравствуйте!

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
$(y-x+2)^2=9 y$, $x=0$, $y=0$

Нужен переход к полярным координатам, но не знаю, как лучше обозначить $x$ и $y$, т.к. обычные замены

$x=r \cos(\varphi)$
$y=r \sin(\varphi)$

не помогли.

Укажите, пожалуйста, приемлемую замену в данном случае

Заранее спасибо!

[Narn]

Ну, я бы привел уравнение кривой второго порядка, которая у вас дана, к нормальному виду, и из этого бы уже исходил.

[suel]

Уравнение:

$x^2+y^2-2 x y-4 x-5 y+4=0$,

откуда $(x-2)^2 - 4 + (y-5/2)^2 - 25/4 - 2 x y =0$,

$(x-2)^2 - 4 + (y-5/2)^2 - 25/4 - 2 x y =10.25$,

переходя заменой:
$x=\cos(\alpha)x_1 - \sin(\alpha)y_1$
$y=\sin(\alpha)x_1 + \cos(\alpha)y_1$

получилось уравнение:
$2 y_1 - 9 x_1/\sqrt 2 - y_1/\sqrt 2 = 0$
если повернуть его на $\alpha = 45$ градусов, то, по идее, должен получится график исходного уравнения

вот, кстати, график $x^2+y^2-2 x y-4 x-5 y+4=0$ в Wolframe:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28y-x%2B2%29%5E2%3D9*y

[Narn]

Ага. Извините, видимо, я поторопился с советом, прочитав про полярные координаты --- подумал, что получится что-нибудь хорошее.

Ведь вам гораздо проще будет выразить из уравнения кривой $x$ как функцию $y$ (нужную ветку из двух легко выбрать по картинке) и интегрировать по $y$,
никаких полярных координат не нужно. То есть просто находим площадь под графиком, как обычный интеграл, только что переменные ролями поменялись.