Вичислить предел(возм. используя Теорему Штольца)

[Hoaxer]

$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^k}} (1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+ ... + \frac{1}{\sqrt{n}})^{k}, k \in \mathbb{N}$

1. Использовал теорему Штольца, как и для большенства примеров с суммой, но в этот раз не получилось, так как есть степень. У меня $x_{n}=(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+ ... + \frac{1}{\sqrt{n}})^{k}, y_{n}=\sqrt{n^k}$, далее по теореме. Со знаменетелем все потяно - разность корней(потом можно на спряженное выражение домножить). Более того, в конце должен получиться многочлен некоего степени и потом при делении на страшего получим предел - это, опять же, как в большенстве случаев. Но вот что делать с суммой?

[SpBTimes]

бином нужно уметь расписывать - и все дела

[Полосин]

А почему бы не воспользоваться тем, что $\sqrt{n^k}=(\sqrt{n})^k$?

[xmaister]

Полосин в сообщении #502595 писал(а):

Но вот что делать с суммой?

Докажите, что $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+ ... + \frac{1}{\sqrt{n}}\sim 2\sqrt n$. Это легко сделать с помощью теоремы Штольца. Можно также использовать идею доказательства интегрального признака сравнения.

[Hoaxer]

Вот, что получилось:
1. Если не ошибаюсь, существует такое правило, что $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}))^k=(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}))^k$, тоесть теперь нужно только рассмотреть $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}})$, далее по теореме Штольца находим, что наш предел приображается в следующий: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+\sqrt{n(n-1)}}{n}=$$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n}+\sqrt{\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n}}}{\frac{n}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{1-0}}{1}=2.$

2. Возвращаясь к начальному пределу получаем, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^k}}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}})^k=2^k$.

Спасибо за внимание (: