Функциональный анализ и простая задача

[loldop]

Здравствуйте!
Есть задача:
$q,p$ - функции такие, что
1) $\int_R{q(x)dx} = 1$
2) $\int_R{p(x)dx} = 1$
3) $p,q \ge 0 $
Нужно доказать существование свертки: $p * q (x) = \int_R {p(x-t)*q(t)dt}$

Решение:
Представим единицу по-другому:
$1 = \int_R{1*p(t)dt} = \int_R{p(t)\int_R{q(x-t)d(x-t)}dt}$

// возможно ли здесь использование теоремы Фубини? И как доказать, что //данный одинарный интеграл сойдется?

или, взяв такой, начальный интеграл
$\int_R{p(x-t)*q(t)dt}$
преобразовать его к повторному:
$\int_R{\int_R{p(x-t)*q(t)dt}dx} = (?) = \int_R{q(t)\int_R{p(x-t)dx}dt}$
и уже повторный расписать так:
внутренний: $\int_R{p(x-t)dx} = \int_R{p(x-t)d(x-t)} = \int_R{p(s)ds} = 1$
внешний: $\int_R{q(t)*1*dt} = 1$

т.е. существование свертки доказано?

//прошу прощения за "прыгающую мысль".

[Хорхе]

Теорема Фубини и есть. Текст непричесанный, но, в принципе, правильный.