предел функции по Коши

[xenich]

пользуясь определение предела функции по Коши доказать:
$\lim_{x\to\--1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}=-2$
по определению предела

$|\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}+2|<E$

$|1-\frac{3}{x+2}+2|<E$

$-E<\frac{-3}{x+2}+3<E$

$\frac{-E}{3+E}<x+1<\frac{E}{3-E}$

далее нужно x+1 получить под модулем, чего у меня не получается
интуитивно понимаю, что $|x+1|<\frac{E}{3-E}$

[SpBTimes]

Возьмите для определённости $\delta = 0.5 \Rightarrow 0 <|x + 1| < 0.5 \Leftrightarrow$
$|\frac{3(x + 1)}{x + 2}| < 6|x + 1| < \varepsilon$
Ну и если взять $\delta = \min{(0.5, \varepsilon/6)}$, то всё ок

[xenich]

не улавливаю ход рассуждений... (

[SpBTimes]

Давайте рассмотрим некую проколотую окрестность точки $-1$. Скажем, $(-1.5; -0.5) - \{-1\}$
Тогда $|\frac{x^2-1}{x^2+3x+2} + 2 |= |\frac{3(x + 1)}{x + 2}|$ (сократили на $x + 1$, т.к. точка -1 не входит в рассматриваемый промежуток).
Допустимые иксы у нас лежат в интервале: $(-1.5; -0.5) - \{-1\}$, тогда оценка для дроби:
$|\frac{3(x + 1)}{x + 2}| \leqslant |\frac{3(x + 1)}{0.5}| = |6(x + 1)|$
Теперь если потребовать $|6(x + 1)|< \varepsilon \Rightarrow |x+ 1| < \frac{\varepsilon}{6}$, то для этих х будет выполнено $|\frac{x^2-1}{x^2+3x+2} + 2 | < \varepsilon$
Ну а отсюда и следует, что если взять $\delta = \min(0.5, \frac{\varepsilon}{6})$, то для всех значений х из проколотой окрестности точки -1 будет верно, что $|\frac{x^2-1}{x^2+3x+2} + 2 | < \varepsilon$

[xenich]

ок.
для Е=0,02971 выполняется неравенство
$|\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}+2|<\epsilon$ при х=-0,99
тогда при x=-0,99
$|x+1|=0,01$ никак не меньше $\delta=\epsilon/6=0,005$