Вопрос о пределе

[Alekse]

Здравствуйте уважаемые участники и преподаватели. Снизошла следующая мысль:

Если где то это обсуждалось, тогда догадался.

Пусть нам даны два предела с различными функциями $f(x)$ и $g(x)$. Известно, что при некотором значении $a$, $f(a)=g(a)$. Верно ли, что $\lim \limits_{x \rightarrow a}f(a)=\lim \limits_{x \rightarrow a}g(a)$ ?



А что если $a=0$ ?

Спасибо.

[FeelUs]

если f(x) и g(x) непрерывны в точке a
то $\lim \limits_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)=g(a)=\lim \limits_{x \rightarrow a}g(x)$

[Kitozavr]

Alekse,FeelUs
В ваших формулах ничего не понятно. Пределы набираются так

$$\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$$

$\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$

[Alekse]

Спасибо большое, подправил.

[gris]

Равенство $\lim\limits_{x\to a} f(a)=\lim\limits_{x\to a} g(a)$ справедливо для любых функций и любом $a$ при условии $f(a)=g(a)$

[FeelUs]

- для любых непрерывных в точке а

[Alekse]

gris в сообщении #502163 писал(а):

Равенство $\lim\limits_{x\to a} f(a)=\lim\limits_{x\to a} g(a)$ справедливо для любых функций и любом $a$ при условии $f(a)=g(a)$

А это можно доказать?
Намека достаточно .

[gris]

Это доказано Фихтенгольцем для любых, в том числе и разрывных в каждой точке, функций.

[Alekse]

Спасибо большое. А можно ссылку на литературу или статью об этом.

[gris]

Возьмите лучше Зорича, матанализ. Там есть параграф про свойства пределов функций. Сейчас не могу точно указать страницу, но точно есть. Сам читал. Случай $a=0$ специально не оговаривается, но его несложно доказать дополнительно.

[Padawan]

И вообще, достаточно, чтобы функции $f(x)$ и $g(x)$ были определены при $x=a$ и имели в этой точке равные значения.

P.S. Свойство называется "предел константы".

[FeelUs]

пусть
f(x)= x+3;
g(x)= x, при x<>0, а при x=0 g(x)=3; (разрывна в 0)
тогда
f(0)=3;
g(0)=3;
при x->0 f(x)->3;
при x->0 g(x)->0;

[Alekse]

Благодарю за помощь.

[Oleg Zubelevich]

Ну что Вы, какой Фихтенгольц какой Зорич? Это новый результат. Вы любезнейший Alekse поторопитесь подать заявку на премию Филдса, а то кто-нибудь еще догадается

Alekse в сообщении #502143 писал(а):

что при некотором значении $a$, $f(a)=g(a)$. $\lim \limits_{x \rightarrow a}f(a)=\lim \limits_{x \rightarrow a}g(a)$

Вы же гений!

[Padawan]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich
Злой Вы