признак сходимости несобственных интегралов

[FeelUs]

А существует ли такой
признак сходимости несобственных интегралов:
если f(x) - нестрого монотонна и ограничена на $[0,+\infty]$
то
(существует конечный $\int\limits_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm dx$ \Leftrightarrow \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x) x = 0)?

(всё в действительных числах)

[Padawan]

Если интеграл конечен, то предел равен нулю. В обратную сторону неверно. Контрпример $f(x)=\frac{1}{(x+1){\ln (x+2)}}$.

[ewert]

Естественно, не существует. Если тот предел равен просто константе, да просто если функция равна одной иксовой, то расходимость интеграла проявляется вполне грубо, и её никак не устранишь, если не устремишь произведение под знаком предела нулю достаточно сильно. Конкретнее: тупо разделите функцию, равно одной иксовой, на логарифм, скажем.

[Padawan]

Будем считать, что $f(x)$ неотрицательна и нестрого убывает на $[0,+\infty)$
Пусть предел $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)x$ не равен нулю (или не существует) . Тогда найдётся $\varepsilon>0$ и последовательность $x_n\to+\infty$ такие, что $f(x_n)x_n>\varepsilon$. Возьмём любое $a>0$. Начиная с некоторого номера $n_0$ будет выполнено $x_n>a$. При таких $n>n_0$

$$ \int_{a}^{x_n} f(x)dx\geqslant^{ (\text {монотонность})} f(x_n)(x_n-a)=f(x_n)x_n\frac{x_n-a}{x_n}>\varepsilon\frac{x_n-a}{x_n} $$

При $n\to\infty$ последняя дробь стремится к единице. Следовательно найдётся $x_n>a$ такой, что $\int_a^{x_n} f(x) dx>\frac{\varepsilon}{2}$. Так как число $a$ было выбрано произвольно, получаем, что не выполнен критерий Коши сходимости интеграла $\int_0^{+\infty} f(x)dx$. Значит, он расходится.

[FeelUs]

спасибо огромное, буду разбираться
только помоему (на первый взгляд) в приведенном доказательстве Вы доказываете, что если предел не равен нулю (или не существует) то интеграл расходится, когда надо выяснить что будет, если предел равен нулю...

[ewert]

FeelUs в сообщении #502248 писал(а):

когда надо выяснить что будет, если предел равен нулю...

Когда не надо ничего выяснять: просто приведите достаточно очевидный контрпример, когда предел нулю равен, а вот сходимости интеграла -- увы.

[FeelUs]

да, кстати, почему $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln(x+2)}$ расходится?
А, Padawan, Вы доказали что если предел не равен 0, то расходится, т.е. если сходится, то предел равен 0

[AD]

FeelUs в сообщении #502338 писал(а):

расходится?

Ну посчитайте $\int \frac1{x\ln x}\,dx$