сопряженные представления в теории представлений групп

[theambient]

Здравствуйте.

Разбираюсь с теорией представлений по наймарку и возникают вопросы в ходе решений упражнений.

1) Правильно ли я понимаю, что сопряженное представление всегда линейно, меня это шокирует.

$$ T: X \leftarrow X, S:Y\leftarrow Y, (Tx,y) = (x,Sy), X, Y находятся в двойственности. $$

$$ (x, \mathrm S(\lambda y + z ) ) = (Tx, \lambda y + z) = \overline\lambda(T x, y) + (Tx, z ) = (x, \lambda Sy + Sz) $$

Так как $x$пробегает все $X$, $X$,$Y$ находятся в двойственности, то

$$ S(\lambda y + z ) \eq \lambda Sy + Sz $$

2) Из 1) следует, что всякое одномерное представление линейно

$$ T: X \leftarrow X, S: Y \leftarrow Y, Tx = \lambda(x)x, $$

$X$, $Y$ в двойственности, следовательно такое $S$ найдется,

$$ \lambda(x) (x,y)= (Tx,y)=(x,Sy) = \mu (x, y), $$

т.е. $\lambda(x) = \operatorname{const} = \mu$, следовательно, $T$ - линееен, а всякий сопряженное ему представление есть группа операторов масштабирования (растяжения).


Что неверно и где ошибка?