Свойства распределения ХИ-квадрат. Доверительные интервалы

[mr_borsch]

Имеется следующая статистика для параметра $\sigma^2$ - $\frac 1 {2n} \sum\limits_{i=1}^n{X_i ^ 2}$, где X_i распределена по закону Рэлея c параметром $\sigma^2$. Необходимо по этой статистике построить доверительный интервал для параметра $\sigma^2$.

К чему пришел я - как нам известно, по закону Рэлея распределена случайная величина $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$, где $\alpha$ и $\beta$ - распределены по нормальному закону с мат. ожиданием 0 и дисперсией $\sigma^2$. Таким образом, после нормировки получаем,что наша статистика есть произведение константы $\frac {\sigma^2} {2n}$ и случайной величины, распределенной по закону ХИ-квадрат с 2n степенями свободы.

Теперь вопрос - если случайная величина $X$ имеет распределение ХИ-квадрат с n степенями свободы, то как будет распределена величина $C \cdot X$, где $C$ - некоторая константа?

Заранее спасибо за ваши ответы.
---
Ответ найден. При большом количестве степеней свободы распределение можно считать приближенно нормальным с параметрами $k$ и $2k$. Интервал строится очень просто.

[--mS--]

mr_borsch в сообщении #501072 писал(а):

Теперь вопрос - если случайная величина $X$ имеет распределение ХИ-квадрат с n степенями свободы, то как будет распределена величина $C \cdot X$, где $C$ - некоторая константа?

Заранее спасибо за ваши ответы.
---
Ответ найден. При большом количестве степеней свободы распределение можно считать приближенно нормальным с параметрами $k$ и $2k$. Интервал строится очень просто.

Вы уверены, что в качестве искомого доверительного интервала пойдёт асимптотический? Да и зачем строить асимптотический, если Вы нашли, что $\frac{2n}{\sigma^2}\cdot \frac{1}{2n}\sum\limits_{i=1}^n X_i^2$ имеет распределение хи-квадрат с $2n$ степенями свободы? Помещайте эту случайную величину между квантилями распределения хи-квадрат уровней $\varepsilon/2$ и $1-\varepsilon/2$, выражайте $\sigma^2$, вот и доверительный интервал.