Избавиться от иррациональности: мнимая единица.

[Anna_R]

Необходимо найти передаточную функцию замкнутой системы.

$W_1 = \frac{K_1} {T_1 p}$
$W_2 = \frac{K_2} {(T_2 p + 1) p}$
$W_3 = K_3$
$W_4 = \frac{K_4} {T_4 p + 1}$

$K_1 = 2$
$T_1 = 10$
$K_2 = 3$
$T_2 = 20$
$K_3 = 3$
$T_3 = 20$
$K_4 = 0,9$
$T_4 = 30$

Используя формулы для соединений типовых звеньев, упрощаем схему и находим передаточную функцию замкнутой системы.

Последовательное соединение $W = W_1 W_2$
Параллельное соединение $W = W_1 + W_2$
Соединение с обратной связью $W =\frac{ W_1}{1\pm W_1 W_{oc}}$

$$W_I =W_2 W_4 = \frac{K_2} {(T_2 p + 1) p} \frac{K_4} {T_4 p + 1}$$

$$W_{II}=W_1+ W_I=\frac{K_1} {T_1 p} + \frac{K_2} {(T_2 p + 1) p} \frac{K_4} {T_4 p + 1}$$

$$W_{III}=W_{II} W_3= \left(\frac{K_1} {T_1 p}+ \frac{K_2} {(T_2 p + 1) p}\frac{K_4}{T_4 p + 1}\right)K_3$$

преобразовываю в более красивый вид и нахожу передаточную функцию замкнутой системы

$$W_{zamkn}=\frac {W_{III}} {1+ W_{III}}= \frac {K_3(K_2 K_4 T_1+K_1(T_2p+1)(T_4 p+1))}{K_3(K_2 K_4 T_1+K_1(T_2p+1)(T_4 p+1)) + p T_1(T_2p+1)(T_4 p+1)}$$

Теперь подставляем значения $K$ и $T$

$$\begin{aligned}W_{zamkn}&=\frac {3 (3\cdot 0,9\cdot 10+2(20p+1)(30 p+1))}{3(3 \cdot0,9\cdot 10+2(20p+1)(30 p+1) )+10p (20p+1)(30 p+1)}=\\& = \frac {81+6(20p+1)(30 p+1)} {81+6(20p+1)(30 p+1)+ 10p(20p+1)(30 p+1)}\end{aligned}$$

Далее необходимо заменить оператор Лапласа $p$ на $i \omega $ и избавиться от иррациональности в знаменателе.

$$W_{zamkn}= \frac {81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1)} {81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1)+ 10i\omega(20i\omega+1)(30 i\omega+1)}$$

В методике предлагается избавиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженное комлексное число. Не выкладываю свой расчет, потому что не получается избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Остаются "свободные" от мнимой единицы члены полинома, которые при умножении на сопряженное комплексное число снова становятся умноженными на мнимую единицу. И так до бесконечности.
В конце концов необходимо сгруппировать вещественные и мнимые члены так, чтобы $W_{(i\omega)}=U_{(\omega)}+iV_{(\omega)}$

Предложите вариант избавления от иррациональности в знаменателе.

Заранее спасибо.

PS: не поняла, как вставить картинку с компьютера? хочу добавить схему, мне кажется, она важна.

[AKM]

Anna_R в сообщении #499901 писал(а):

не поняла, как вставить картинку с компьютера? <-- click

[Someone]

Anna_R в сообщении #499901 писал(а):

Предложите вариант избавления от иррациональности в знаменателе.

Способ, собственно, простой, хотя, может быть, громоздкий: раскрыть в знаменателе скобки, максимально его упростить, избавившись от всех степеней мнимой единицы, кроме первой, затем умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю (получается заменой $i$ на $-i$).

[Anna_R]

умножить как-то так? где в этом случае поставить знак минус, чтобы получилось сопряженное число? после числа 81?
$W_{zamkn}= \frac {81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1)} {81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1)+ 10i\omega(20i\omega+1)(30 i\omega+1)}=\frac {(81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1)) } {81+(6+10i\omega)(20i\omega+1)(30 i\omega+1)} =\frac {(81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1))(81+(6+10i\omega)(20i\omega+1)(30 i\omega+1)) } {(81+(6+10i\omega)(20i\omega+1)(30 i\omega+1))(81+(6+10i\omega)(20i\omega+1)(30 i\omega+1))} $

-- 05.11.2011, 23:04 --

я прикинула в уме, все равно получится третья степень.....

[Someone]

Скобки сначала раскройте. И умножаете Вы не на сопряжённое выражение, а просто на то же самое. Я же сказал: заменить $i$ на $-i$.

Да степень уже и так третья, а после домножения на сопряжённое будет шестая (правда, в знаменателе будут только чётные степени $\omega$).

[spaits]

Третья степень от $i$ - это $-i$.
Сначала надо было перемножить все скобки в знаменателе, привести подобные и уж потом...

[Anna_R]

Так. Я умножаю на то же самое выражение, а надо....? просто подставить $-i$? везде-везде?
Говорю, умножала несколько раз, не получается! если раскрыть скобки, то домножить на что-либо вообще будет труднее

[AKM]

Так. Кто-то чего-то не понимает. Вот цитатка:

Anna_R в сообщении #499901 писал(а):

и избавиться от иррациональности в знаменателе.

$$W_{zamkn}= \frac {81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1)} {81+6(20i\omega+1)(30 i\omega+1)+ 10i\omega(20i\omega+1)(30 i\omega+1)}$$

Anna_R,

Вы можете раскрыть скобки? Хотя бы в числителе. Конечно, потом потребуется и в знаменателе. Но хотя бы в числителе. Для начала. Какое-то глобальное взаимонепонимание (тем более, что никаких иррациональностей не наблюдается).

[Anna_R]

сижу перемножаю, как сказал товарищ spaits.
AKM, я уже там раскрывала скобки. и в числителе и в знаменателе.
вот что получаю, просто раскрыв скобки, без подстановки $i\omega$

$W=\frac {3600p^2+300p+87}{6000p^3+4100p^2+310p+87}$
В итоге, при подстановке $i\omega$ получаю $i$ в знаменателе, от которой надо избавиться.

[Someone]

Anna_R в сообщении #499944 писал(а):

В итоге, при подстановке $i\omega$ получаю $i$ в знаменателе, от которой надо избавиться.

Так Вам же объяснили, как избавиться. Что там непонятно?

[Anna_R]

(Оффтоп)

-ты в баню? -я в баню! -ааа, а я думал, ты в БАНЮ!

еще раз напишите пожалуйста что с этим теперь надо сделать?
умножить на сопряженное? - снова получится то же самое, только с большими коэф.
поменять i на -i? не пойму вот этого. как это - поменять?

[Someone]

Anna_R в сообщении #499946 писал(а):

умножить на сопряженное? - снова получится то же самое, только с большими коэф.

А какое там сопряжённое? Напишите и то, что получается после подстановки $p=i\omega$, и выражение, сопряжённое знаменателю. Каким образом получается "то же самое" после умножения на сопряжённое выражение, для меня является загадкой.

[Anna_R]

все, кажется получилось.
до меня только сейчас дошло, что $i$ надо за скобку, члены без $i$ в другую скобку, между скобками поменять знак, домножить....
спасибо за помощь!

(Оффтоп)

лишь бы утром не пришлось пересчитывать заново, лишь бы все было верно....