[Геометрия] ЗФТШ, 10 класс, планиметрия

[Balantay]

Есть паралелограм ABCD. На AD выбрали К, провели АС и ВК (пересечение - О). Площадь АВО - 3, ОСDК - 11. Найти АK/KD
Кто знает как делать - натолкните пожалуйста

[spaits]

Лучше взять за неизвестное $t=AK:AD$, так как это коэффициент подобия нижнего и верхнего треугольников. Вычислить затем искомое отношение не составит труда. Сумма площадей верхнего и нижнего треугольников равна половине площади параллелограмма. Чтобы получить площадь четырехугольничка $OCDK$, из площади параллелограмма надо вычесть сумму площадей трех треугольников. Это значит, надо вычислить и площадь третьего тоеугольника, выразив ее через произведение ${BO}\cdot{OC}$ и $t$.
Углы при вершинах всех трех треугольников какие? Равные или смежные. Таким образом, какую формулу площади треугольников выбираете?
Даю только намек на ход решения. Теперь слово за Вами.

[Balantay]

Понял и решил, спасибо
Если кому надо, выкладываю полное решение

Текст, выложенный с нарушением правил набора формул, удалён. //AKM

[spaits]

Balantay в сообщении #499471 писал(а):

Единственное что я не понял - как доказать, что
S(BOC)+S(AOK)=S(ABCD)/2

Я, наверное, ошиблась.
Так что надо поискать другое соотношение между площадью трапеции и треугольников. Скорее всего, надо провести $KC$ и рассмотреть четвертый треугольник $OKC$, вычислить площадь этого треугольника и площадь трапеции $ABCK$ как сумму четырех треугольников, а затем сравнить площади обеих трапеций (соотношения сторон известны, а высоты одинаковы). Затем нетрудно вычислить площадь четырехугольника, так как Вы знаете уже площадь четвертого треугольника.
Извините. Спасибо за исправление моей ошибки. Я успела прочитать до того, как удалили.

[BVR]

Пусть $Q$ - образ точки $K$ при симметрии относительно центра основного параллелограмма. Обозначьте через $P$ точку пересечения $DQ$ с $AC$. Тогда параллелограмм разбивается на параллелограмм $KBQD$ и два равных треугольника $ABK$ и $QDC$. Обозначьте $S(ABCD)=S$. Находите, как посоветовала spaits отношение $t$. Выразите через $S$ отношение площадей подобных треугольников $AOD$ и $APD$ и оно равно $t^2$. А отношение удвоенной площади треугольника $AOK$ к площади параллелограмма равно $t$. Теперь можно найти $S$. Дальше сами... Как решите - напишите ответ. Сравним.

[Balantay]

Решил, спасибо

Получилось t=3 или t=1/3

[BVR]

Ага. У меня тоже

-- Сб ноя 05, 2011 13:53:26 --

А $S=24$?