Счётное пересечение множеств

[xmaister]

Пусть $S=\mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}$. Определим отображение $f: S\to S$ так что, $f(x)=x-\frac1{x}$. Доказать (или опровергнуть), что:

$$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}f^{(n)}(S)=\varnothing ,$$

если известно, что $f^{(n)}(S)=f(f^{(n-1)}(S)), f^{(1)}=f(S)$.

(Источник)

Putnam2001

[Руст]

Знаменатель дроби $f(f(x))$ по крайней мере вдвое больше знаменателя $x$. Отсюда следует, что $\frac ab \not \in f^{(n)}(S), n>2\log_2(b).$

[Null]

А правда ли что

$$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\{f^{(n)}(x)=0\}$$

Всюду плотно в R?

[xmaister]

(Оффтоп)

Null
А разве у $\{0\}$ есть прообраз?

[Null]

1?

[xmaister]

Null
не, $\{1\}\not\in S$

(Оффтоп)

При отображении из $S$ в $S$ имеем $x\in f^{-1}(S)\Leftrightarrow x\in S\wedge f(x)\in S$

[RIP]

Null
Вы какие $x$ рассматриваете? Произвольные вещественные?