инвариантное множество

[Oleg Zubelevich]

Скажу сразу: это факт из учебника и не сложный.

И так, пусть $(M,\sigma,\mu)$ -- пространство со счетно-адитивной мерой. $T:M\to M$ -- измеримое отображение.
Множество $A\in \sigma$ называется инвариантным по модулю 0 если $\mu(A\Delta T^{-1}(A))=0$. Доказать, что в этом случае существует множество $A'\in \sigma,\quad \mu(A\Delta A')=0$ такое, что $T^{-1}(A')=A'$.

[Хорхе]

Полнота там ни разу не требуется? Я так, на всякий случай спрашиваю.

[Oleg Zubelevich]

Задача снимается, я ее очччень плохо сформулировал.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $(M,\sigma,\mu)$ -- пространство со счетно-адитивной мерой. $T:M\to M$ -- измеримое отображение, сохраняющее меру:

$$\mu(T^{-1}(V))=\mu(V),\quad V\in\sigma.\qquad (*)$$

Теорема. Предположим, что множество $A\in \sigma$ инвариантно по модулю 0 т.е. $\mu(A\Delta T^{-1}(A))=0$.
Тогда существует множество $A'\in \sigma,\quad \mu(A\Delta A')=0$ такое, что $T^{-1}(A')=A'$.

($\Delta$ -- симметрическая разность: $U\Delta V=(U\backslash V)\cup (V\backslash U)$)

Доказательство. Зададим множество $A'$ следующим образом

$$B=\bigcap_{i=0}^\infty T^{-i}(A),\quad A'=\bigcup_{i=0}^\infty T^{-i}(B)=\bigcup_{i=0}^\infty\bigcap_{k=i}^\infty T^{-k}(A).$$

Поскольку $B\subseteq T^{-1}(B)$ имеем $T^{-1}(A')=A'.$

Докажем, что $\mu(A\Delta A')=0$. Для этого заметим, что найдутся множества $P_k,Q_k\in\sigma,\quad \mu(P_k)=\mu(Q_k)=0$ такие, что $A\backslash P_k\subseteq T^{-k}(A)\subseteq A\bigcup Q_k,\quad k\in\mathbb{N}.$. (Доказывается по индукции с использованием (*)). По определению, положим $Q_0=P_0=\emptyset$.

Проверим, что $\mu(A\backslash A')=\mu(A'\backslash A)=0$. Действительно,

$$A'\backslash A\subseteq\Big( \bigcup_{i=0}^\infty\bigcap_{k=i}^\infty(A\cup Q_k) \Big)\backslash A \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty Q_i,\quad A\backslash A'\subseteq A\backslash\Big( \bigcup_{i=0}^\infty\bigcap_{k=i}^\infty(A\backslash P_k) \Big)\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty P_i. $$

ЧТД

Условие (*) можно заменить на такое условие: $T^{-1}$ переводит множества меры 0 в множества меры 0.