Комплексные числа.

[samuil]

1) Представить число в алгебраической форме

$\dfrac{(1-\sqrt{3}i)^{27}}{(2-2i)^{18}}$

Это нужно поочередно считать так или есть полегче способ?

$(1-\sqrt{3}i)^{27}=\Big(\big((1-\sqrt{3}i)^{3}\big)^3\Big)^3$

$(1-\sqrt{3}i)^{3}=a_1+ib_1$

$(a_1+ib_1)^{3}=a_2+ib_2$

$(a_2+ib_2)^{3}=a_3+ib_3$

$(1-\sqrt{3}i)^{27}=a_3+ib_3$

Есть ли способ проще?

2) Изобразить множество, заданное равенством:

$\arg z=\dfrac{\pi}{4}$

Какой из вариантов - правильный?

[AKM]

samuil в сообщении #497929 писал(а):

Какой из вариантов - правильный?

И что, если я Вам скажу, какой из вариантов правильный, Вы просто, не думая, поверив, отнесёте его преподавателю (или куда там оно требуется)?

-- 31 окт 2011, 22:32 --

Возьмите проблемную точку, например, $z=-1-i$, сочитайте для неё этот самый $\arg $, людям расскажите...

[arseniiv]

(2) Это почти напрямую зависит от того, может ли модуль комплексного числа быть отрицательным. Может?

(1) Вы знаете, как возводится в действительную степень число в тригонометрической [или экспоненциальной] форме?

[samuil]

AKM в сообщении #497935 писал(а):

Возьмите проблемную точку, например, $z=-1-i$, сочитайте для неё этот самый $\arg $, людям расскажите...

Если $z=-1-i$, то $\arg z = \pi+\dfrac{\pi}{4}$

Спасибо, теперь понятно, значит вариант $1$ -- правильный!

[AKM]

samuil в сообщении #497950 писал(а):

Если $z=-1-i$, то $\arg z = \pi+\dfrac{\pi}{4}$

Я в ТФКП не особо, но мне всегда казалось, что если $z=-1-i$, то $\arg z = \text{\color{red}\large\bf{--}}\pi+\dfrac{\pi}{4}$. Что, конечно, на картинке не сказывается.

[samuil]

arseniiv в сообщении #497940 писал(а):

(2) Это почти напрямую зависит от того, может ли модуль комплексного числа быть отрицательным. Может?

Нет, не может...Понятно, что вариант 1 тогда!

arseniiv в сообщении #497940 писал(а):

(1) Вы знаете, как возводится в действительную степень число в тригонометрической [или экспоненциальной] форме?

А, ок, понятно $z^n = r^n(\cos{n\varphi}+ i \sin{n\varphi})$

Кстати, а почему при возведении в натуральную степень - к аргументу не прибавляется $2\pi k$, а при дробной степени - появляется. Откуда?

$$z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} = r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)$$

[AKM]

...хотя, да, Postscript от нуля до 359.99999 возвращает. Но мы же математики, а не какая-то шелупонь...

[Mega Sirius12]

Цитата:

Кстати, а почему при возведении в натуральную степень - к аргументу не прибавляется $2\pi k$, а при дробной степени - появляется. Откуда?

потому что извлечение корня любой степени из комплексного числа, скажем говоря, неоднозначно

[samuil]

Mega Sirius12 в сообщении #497966 писал(а):

Цитата:

Кстати, а почему при возведении в натуральную степень - к аргументу не прибавляется $2\pi k$, а при дробной степени - появляется. Откуда?

потому что извлечение корня любой степени из комплексного числа, скажем говоря, неоднозначно

А, я уже понял, если добавлять $2\pi k$ при возведении в целую степень $n$, то нужно будет $2\pi k$ умножить на $n$, то получится $2\pi l$, где $l=kn$ - целое число, то есть ничего не меняется с добавлением нескольких оборотов)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ой, не хотел доставлять неудобства неоднозначностью, а вместо натуральную всё равно написал действительную…

Да, так.

[Mega Sirius12]

угу

[samuil]

Ок, ясно, спасибо!