Одна из формул Френеля

[ZumbiAzul]

Здравствуйте!

Одна из формул Френеля гласит:

$$ R_{||} = \frac {\ n_2 \cos {\theta_i} - n_1 \cos {\theta_t}} {\ n_2 \cos {\theta_i} + n_1 \cos {\theta_t}}A_{||} = \frac {\ \tg{(\theta_i - \theta_t)}} {\ \tg{(\theta_i + \theta_t)}}A_{||},$$

где $R_{||}$ - лежащая в плоскости падения составляющая амплитуды отраженного электрического поля, $A_{||}$ - лежащая в плоскости падения составляющая амплитуды падающего электрического поля, $\theta_i$ - угол падения, $\theta_t$ - угол преломления.
Угол Брюстера - это такой угол падения, при котором $\theta_i + \theta_t = \frac {\ \pi} {\ 2}$.
Рассмотрим случай $n_2 > n_1$ (луч света падает из оптически менее плотной среды в оптически более плотную среду). При этом $\theta_i > \theta_t$. Утверждается, что если угол падения меньше угла Брюстера (или $\theta_i + \theta_t < \frac {\ \pi} {\ 2}$), то из этой формулы Френеля видно, что фаза параллельной составляющей отраженной волны отличается от фазы параллельной составляющей падающей волны на $\pi$. Не могу понять, почему так. Если, кто понимает, объясните, плиз=)

Спасибо!

[Munin]

Нарисуйте плоскость падения, направления трёх лучей - падающего, преломлённого и отражённого - и направления векторов электрического поля в этих лучах. Потом сведите три вектора электрического поля в одну точку. И наконец, вспомните граничные условия для электрического поля на границе диэлектрика. (Обычно оптически плотные среды моделируются как $\varepsilon>1,$ $\mu=1.$)

[ZumbiAzul]

Цитата:

Нарисуйте плоскость падения, направления трёх лучей - падающего, преломлённого и отражённого - и направления векторов электрического поля в этих лучах. Потом сведите три вектора электрического поля в одну точку. И наконец, вспомните граничные условия для электрического поля на границе диэлектрика. (Обычно оптически плотные среды моделируются как )

Можно подробно, плиииииз? Я сделал все как Вы сказали, но это мне не дало ни малейшего прояснения...

[Munin]

Хм. Мда. Этого как-то недостаточно. Подождите.

[type2b]

Обратите внимание на выбор "положительного" направления электрического поля для падающей и отраженной волны. При $\theta=0$ они противоположны.

[Munin]

Наверное, так.

Рассмотрим сначала концептуально более простой случай $s$-поляризации. Тогда мы должны рисовать вектор магнитного поля $\mathbf{B}.$ Картинка получается такая:



Условия на границе раздела сред просты, и требуют, чтобы суммарный вектор поля в одной среде равнялся суммарному вектору поля в другой среде. Строим треугольник векторной суммы, и в силу того, что $\theta_i$ всегда $>\theta_t,$ убеждаемся, что треугольник всегда ориентирован одинаково, и значит, фазы прошедшей и отражённой волны всегда одинаковы (прошедшей - совпадает с фазой падающей, отражённой - отличается на $\pi$).

Теперь перейдём к $p$-поляризации. Здесь мы должны рисовать вектор электрического поля $\mathbf{E},$ и разбираться с его граничными условиями. Электрическое поле преломляется на границе двух сред по закону: нормальная компонента сжимается в $\varepsilon$ раз, тангенциальная не изменяется.



Поэтому мы рисуем не просто треугольник векторной суммы, а включаем в него вектор поля прошедшей волны, условно перенесённый в верхнюю среду $\mathbf{E}^{(2\to 1)}_{t}$ (обозначен пунктиром). У нас теряется простая связь между углом преломления и углом, под которым наклонён пунктирный вектор. Пунктирный вектор получается из вектора поля прошедшей волны $\mathbf{E}_{t}$ растяжением по вертикали в $\varepsilon$ раз. Поэтому он может проходить и правее, и левее вектора поля падающей волны $\mathbf{E}_{i}.$ Треугольник может быть ориентирован по-разному. И третья сторона треугольника, вектор поля отражённой волны $\mathbf{E}_{r},$ может быть направлен как вверх, так и вниз. Отсюда и изменение фазы на $\pi.$



Заметим, что законы преломления луча света и электрического поля выглядят по-разному:
$\sin\theta_i=\sqrt{\varepsilon}\,\sin\theta_t,$
$\tg\theta^{(2\to 1)}_t=\varepsilon\tg\theta_t.$
Поэтому, если мы приравняем один угол другому, мы получим условие угла Брюстера: $\theta_i+\theta_t=\tfrac{\pi}{2}.$ И наоборот, из любых двух других условий мы получим третье.

Как-то так. Достаточно?

[ZumbiAzul]

Круто, спасибо большое, но некоторые следствия мне все равно не понятны:

Цитата:

Поэтому он может проходить и правее, и левее вектора поля падающей волны

Это потому, что могут быть два случая - из менее плотной в более плотную и из более плотной в менее плотную?

Цитата:

третья сторона треугольника, вектор поля отражённой волны может быть направлен как вверх, так и вниз.

Почему?

Цитата:

Поэтому, если мы приравняем один угол другому

Какой какому?=)

[profrotter]

Рассматриваем возбуждение границы раздела двух идеальных диэлектриков совпадающей с плоскостью $xOy$ плоской однородной волной. В случае параллельной поляризации вектор напряжённости электрического поля параллелен плоскости падения $yOz$, а вектор напряжённости магнитного поля - перпендикулярен ей:

Выражения для комплексных амплитуд характеристик падающей волны имеют вид:

$$\dot{\overrightarrow{H_m^{(0)}}}=\overrightarrow{x^{(0)}}C_0\exp(-jk_1(y\sin(\theta_i)+z\cos(\theta_i)))$$

$$\dot{\overrightarrow{E_m^{(0)}}}=W_1[\dot{\overrightarrow{H_m^{(0)}}},(\overrightarrow{y^{(0)}}\sin(\theta_i)+\overrightarrow{z^{(0)}}\cos(\theta_i))]=$$

$$=(\overrightarrow{z^{(0)}}\sin(\theta_i)-\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i))W_1C_0\exp(-jk_1(y\sin(\theta_i)+z\cos(\theta_i))),$$

где $W_1$ - волновое сопротивление в среде, где распространяется падающая и отражённая волна, $C_0>0$ - постоянная (для простоты) $k_1$ - волновое число в среде падения.
Аналогично выражения для комплексных амплитуд характеристик отражённой волны:

$$\dot{\overrightarrow{H_m^{(-)}}}=\overrightarrow{x^{(0)}}C_0\rho \exp(-jk_1(y\sin(\theta_i)-z\cos(\theta_i)))$$

$$\dot{\overrightarrow{E_m^{(-)}}}=(\overrightarrow{z^{(0)}}\sin(\theta_i)+\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i))W_1C_0\rho\exp(-jk_1(y\sin(\theta_i)-z\cos(\theta_i))),$$

где $\rho=\frac {n_2\cos(\theta_i)-n_1\cos(\theta_t)}{n_2\cos(\theta_i)+n_1\cos(\theta_t)}$ - коэффициент отражения.
Выражения для векторов напряжённости электрического поля:

$$\overrightarrow{E^{(0)}}=\operatorname{Re}(\dot{\overrightarrow{E_m^{(0)}}}\exp(j\omega t))=(\overrightarrow{z^{(0)}}\sin(\theta_i)-\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i))W_1C_0\rho\cos[\omega t-k_1(y\sin(\theta_i)+z\cos(\theta_i))]$$

$$\overrightarrow{E^{(-)}}=\operatorname{Re}(\dot{\overrightarrow{E_m^{(-)}}}\exp(j\omega t))=(\overrightarrow{z^{(0)}}\sin(\theta_i)+\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i))W_1C_0\rho\cos[\omega t-k_1(y\sin(\theta_i)-z\cos(\theta_i))]$$

При приведённых вами условиях $\rho >0$ и, судя по выражениям, ни о какой разности фаз в $\pi$ речи быть не может. Возможно имеются ввиду составляющие, параллельные самой границе раздела сред:

$$\overrightarrow{E^{(0)}_y}=-\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i)W_1C_0\rho\cos[\omega t-k_1(y\sin(\theta_i)+z\cos(\theta_i))]=$$

$$=\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i)W_1C_0\rho\cos[\omega t-k_1(y\sin(\theta_i)+z\cos(\theta_i)) +\pi]$$

$$\overrightarrow{E^{(-)}_y}=\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i)W_1C_0\rho\cos[\omega t-k_1(y\sin(\theta_i)-z\cos(\theta_i))]$$

В последних выражениях начальные фазы отличаются на $\pi$, в частности на самой границе раздела сред $z=0$ и

$$\overrightarrow{E^{(0)}_y}\rvert_{z=0}=\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i)W_1C_0\rho\cos[\omega t-k_1y\sin(\theta_i) +\pi]$$

$$\overrightarrow{E^{(-)}_y}\rvert_{z=0}=\overrightarrow{y^{(0)}}\cos(\theta_i)W_1C_0\rho\cos[\omega t-k_1y\sin(\theta_i)]$$

[Munin]

ZumbiAzul в сообщении #498104 писал(а):

Это потому, что могут быть два случая - из менее плотной в более плотную и из более плотной в менее плотную?

Нет, среды фиксированы, меняется только угол падения.

Дело именно в том, что пунктирный вектор восстанавливается по другому закону преломления. Поэтому между углами $\theta_i$ и $\theta^{(2\to 1)}_t$ возможны любые отношения: больше, меньше, равно. "Равно" наступает при угле Брюстера.

Вот, сравните графики $\arcsin(\tfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\sin x)$ и $\arctg(\tfrac{1}{\varepsilon}\tg x)$



Видно, что они идут по-разному и пересекаются.

ZumbiAzul в сообщении #498104 писал(а):

Какой какому?=)

Угол падения углу пунктирного вектора.

profrotter
Я ваши выкладки не разобрал (начиная с недостаточно введённых обозначений), но вы где-то ошиблись. Смена фазы на переходе через угол Брюстера есть. Подозрения начинаются с того, что у вас коэффициент отражения через ноль не проходит, а должен. Заметьте, коэффициент $\tg(\theta_i - \theta_t)/\tg(\theta_i + \theta_t)$ - проходит.

[type2b]

Честно говоря, не очень понятно, в чем был вопрос. Как увидеть из формулы Френеля, что при переходе через угол Брюстера фаза меняется на противоположную? Или как вывести саму формулу?
Если первое, то нужно просто решить систему $n_2 \cos\theta_i-n_1\cos\theta_t=0\,,\,\, n_2\sin\theta_t=n_1\sin\theta_i$. Отсюда получается, что $R=0$ при угле падения, равном углу Брюстера ($\tan\theta_i=n_2/n_1$), и можно увидеть, что знак $R$ при переходе через угол Брюстера меняется.
Далее, при $\theta_i=0$ видим, что $R>0$. Почему это означает, что фаза отличается на $\pi$? Потому что положительные направления для электрического поля в падающей и отраженной волне выбраны так, что при $\theta_i=0$ они противоположны.

[Munin]

Я отвечал на вопрос "из формулы-то это видно, а в чём смысл того, что описывает формула?".

[type2b]

аа, понял

[profrotter]

Munin в сообщении #498260 писал(а):

Я ваши выкладки не разобрал (начиная с недостаточно введённых обозначений), но вы где-то ошиблись.

Если вам что-то непонятно - вы всегда меня можете спросить и я всегда постараюсь ответить или дать ссылку на литературу. Конечно, я где-то ошибся, ибо загоняя на форум такие громоздкие выражения, вообще невозможно не ошибиться. Исправлю свои ошибки и постараюсь пояснить обозначения:
1. Верхний индекс $(0)$ присвоен характеристикам падающей волны. Верхний индекс $(-)$ присвоен характеристикам отражённой волны. На рисунке вместо $\dot{\overrightarrow{E_m^{(+)}}}$ и $\dot{\overrightarrow{H_m^{(+)}}}$ следует читать $\dot{\overrightarrow{E_m^{(-)}}}$ и $\dot{\overrightarrow{H_m^{(-)}}}$
2. В формулах вместо $\overrightarrow{x^{(0)}}, \overrightarrow{y^{(0)}},\overrightarrow{z^{(0)}}$ следует читать $\overrightarrow{x^{0}}, \overrightarrow{y^{0}},\overrightarrow{z^{0}}$ - это орты направлений $x,y,z$ соответственно.
3. Параметры среды, в которой распространяется падающая и отражённая волна имеют нижний индекс 1, параметры среды, где распространяется преломлённая волна имеют нижний индекс 2. $W_1=\sqrt{\frac{\mu_0\mu_1}{\varepsilon_0\varepsilon_1}}$ - волновое сопротивление первой среды; $k_1=\omega\sqrt{\varepsilon_0\varepsilon_1\mu_0\mu_1}$ - волновое число в первой среде; $n_{1,2}=\sqrt{\varepsilon_{1,2}\mu_{1,2}}$ - показатели преломления сред 1 и 2 соответственно.
4. Предложение

profrotter в сообщении #498160 писал(а):

Рассматриваем возбуждение границы раздела двух идеальных диэлектриков совпадающей с плоскостью $xOy$ плоской однородной волной.

Следует читать: "Рассматриваем возбуждение границы раздела двух идеальных диэлектриков, совпадающей с плоскостью $xOy$, плоской однородной волной."

Munin в сообщении #498260 писал(а):

Смена фазы на переходе через угол Брюстера есть.

Причём тут вообще переход через угол Брюстера? - В сообщении автора темы ясно сказано:

ZumbiAzul в сообщении #497926 писал(а):

$\theta_i > \theta_t$
...
$\theta_i + \theta_t < \frac {\ \pi} {\ 2}$

При этих условиях коэффициент отражения положителен, чем я и руководствовался.

Munin в сообщении #498260 писал(а):

Подозрения начинаются с того, что у вас коэффициент отражения через ноль не проходит, а должен. Заметьте, коэффициент $\tg(\theta_i - \theta_t)/\tg(\theta_i + \theta_t)$ - проходит.

Замечу лишь, что о этой формуле с тангенсами мне ничего не известно. Я открываю Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов.-М.:Наука. Гл. ред. физ-мат. лит.,1989 и смотрю на стр.167 формулу (5.43):

$$\rho=\frac {W_1\cos(\theta_i)-W_2\cos(\theta_t)}{W_1\cos(\theta_i)+W_2\cos(\theta_t)}.$$

Если уж возник вопрос, давайте поиграем с ней. Рассмотрим случай, когда $\mu_1=\mu_2$ и поделим обе части дроби на $W_2$:

$$\rho=\frac {\frac {W_1}{W_2}\cos(\theta_i)-\cos(\theta_t)}{\frac{W_1}{W_2}\cos(\theta_i)+\cos(\theta_t)}.$$

Рассмотрим отношение

$$\frac{W_1}{W_2}=\sqrt{\frac{\mu_0\mu_1\varepsilon_0\varepsilon_2}{\varepsilon_0\varepsilon_1\mu_0\mu_1}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{n_2}{n_1}.$$

С учётом этого

$$\rho=\frac {n_2\cos(\theta_i)-n_1\cos(\theta_t)}{n_2\cos(\theta_i)+n_1\cos(\theta_t)}.$$

Привлечём второй закон Снеллиуса: $n_1\sin(\theta_i)=n_2\sin(\theta_t)$, тогда

$$\frac{W_1}{W_2}=\frac{\sin(\theta_i)}{\sin(\theta_t)}.$$

Возвращаемся к выражению для коэффициента отражения:

$$\rho=\frac {\frac{\sin(\theta_i)}{\sin(\theta_t)}\cos(\theta_i)-\cos(\theta_t)}{\frac{\sin(\theta_i)}{\sin(\theta_t)}\cos(\theta_i)+\cos(\theta_t)}=\frac {\sin(\theta_i)\cos(\theta_i)-\sin(\theta_t)\cos(\theta_t)}{\sin(\theta_i)\cos(\theta_i)+\sin(\theta_t)\cos(\theta_t)}=\frac{\sin(\theta_i-\theta_t)}{\sin(\theta_i+\theta_t)}$$

А откуда взялись тангенсы я не догадываюсь. Но в моих рассуждениях это не суть о чём я уже указывал.

Munin в сообщении #498353 писал(а):

Я отвечал на вопрос "из формулы-то это видно, а в чём смысл того, что описывает формула?".

Вопрос был в другом:

ZumbiAzul в сообщении #497926 писал(а):

из этой формулы Френеля видно, что фаза параллельной составляющей отраженной волны отличается от фазы параллельной составляющей падающей волны на $\pi$. Не могу понять, почему так. Если, кто понимает, объясните, плиз=)

Munin, я не хочу вас расстраивать - очень замечательные картинки, - но при их построении вы используете граничные условия, то есть они описывают ситуацию только на границе раздела сред и не дают никакого представления о том, что происходит вне границы. Потому по этим картинкам вы не можете делать вывод о фазах падающей и отражённой волн вне границы раздела сред. А на границе раздела разность фаз в $\pi$ я тоже получил. Но я же и показываю, что в других точках пространства разность фаз вообще говоря не равна $\pi$, однако остаётся равной $\pi$ разность начальных фаз составляющих вектора напряжённости электрического поля падающей и отражённой волн, параллельных границе раздела сред. Кстати, случай вашей $s$ - поляризации не имеет никакого отношения к исходному сообщению темы, в котором сказано:

ZumbiAzul в сообщении #497926 писал(а):

Одна из формул Френеля гласит:

$$ R_{||} = \frac {\ n_2 \cos {\theta_i} - n_1 \cos {\theta_t}} {\ n_2 \cos {\theta_i} + n_1 \cos {\theta_t}}A_{||} = \frac {\ \tg{(\theta_i - \theta_t)}} {\ \tg{(\theta_i + \theta_t)}}A_{||},$$

где $R_{||}$ - лежащая в плоскости падения составляющая амплитуды отраженного электрического поля, $A_{||}$ - лежащая в плоскости падения составляющая амплитуды падающего электрического поля, $\theta_i$ - угол падения, $\theta_t$ - угол преломления.

Подчёркнуто автором темы и означает, что рассматривается случай, когда вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения - плоскости перпендикулярной границе раздела сред.

[Munin]

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

Причём тут вообще переход через угол Брюстера?

А вот при чём:

ZumbiAzul в сообщении #497926 писал(а):

Утверждается, что если угол падения меньше угла Брюстера... Не могу понять, почему так.

Видимо, с фазой при угле падения больше угла Брюстера - больше ясности.

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

Замечу лишь, что о этой формуле с тангенсами мне ничего не известно.

Она применяется в оптике, в диапазоне $\tg\Delta=0,$ $\mu=1.$ Можно найти как в Википедии, так и в Физической энциклопедии ("Френеля формулы", V с. 375 (1)).

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

Возвращаемся к выражению для коэффициента отражения:

$$\rho=\ldots=\frac{\sin(\theta_i-\theta_t)}{\sin(\theta_i+\theta_t)}$$

Всё-таки перехода через нуль нет. Заметьте, что в форме

$$\rho=\frac {W_1\cos(\theta_i)-W_2\cos(\theta_t)}{W_1\cos(\theta_i)+W_2\cos(\theta_t)}$$

и даже

$$\rho=\frac {n_2\cos(\theta_i)-n_1\cos(\theta_t)}{n_2\cos(\theta_i)+n_1\cos(\theta_t)}$$

переход через нуль ещё есть (обращается в нуль числитель). То есть ошибка в выкладках где-то позже этого шага.

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

Вопрос был в другом

Пускай вопрос был в другом. Подождём автора темы. Не стоит за него решать, что именно ему нужно. Пока у меня возникло впечатление, что я начал говорить именно о том, что его интересовало, хотя, возможно, я и ошибся.

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

Munin, я не хочу вас расстраивать - очень замечательные картинки, - но при их построении вы используете граничные условия, то есть они описывают ситуацию только на границе раздела сред и не дают никакого представления о том, что происходит вне границы. Потому по этим картинкам вы не можете делать вывод о фазах падающей и отражённой волн вне границы раздела сред.

Успешно сделал, если вы не заметили. Посмотрите ещё раз внимательней.

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

Но я же и показываю, что в других точках пространства разность фаз вообще говоря не равна $\pi$

Это, вообще говоря, банальность: лучи не коллинеарны, чтобы иметь одну и ту же разность фаз во всём пространстве. Фразы "фаза не меняется", "фаза меняется на $\pi$", как обычно, относятся только к точке отражения / преломления. Впрочем, возражений к констатации банальностей у меня нет. Повторение - мать учения.

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

Кстати, случай вашей $s$ - поляризации не имеет никакого отношения к исходному сообщению темы

(Не моей, обозначения взяты из Википедии. Считаю эти термины более подходящими, чем вносящие путаницу "параллельная" и "перпендикулярная".)
Да, я в курсе. Моей целью было сначала разобрать более простой случай, чтобы потом показать его отличия от более сложного.

[profrotter]

profrotter в сообщении #498160 писал(а):

где $\boxed{\rho=\frac {n_2\cos(\theta_i)-n_1\cos(\theta_t)}{n_2\cos(\theta_i)+n_1\cos(\theta_t)}}$ - коэффициент отражения.

Munin в сообщении #498260 писал(а):

у вас коэффициент отражения через ноль не проходит, а должен. Заметьте, коэффициент $\tg(\theta_i - \theta_t)/\tg(\theta_i + \theta_t)$ - проходит.

Munin в сообщении #498561 писал(а):

в форме $\rho=\frac {W_1\cos(\theta_i)-W_2\cos(\theta_t)}{W_1\cos(\theta_i)+W_2\cos(\theta_t)}$ и даже $\boxed{\rho=\frac {n_2\cos(\theta_i)-n_1\cos(\theta_t)}{n_2\cos(\theta_i)+n_1\cos(\theta_t)}}$ переход через нуль ещё есть (обращается в нуль числитель).

Вы уж как-нибудь определитесь.

Munin в сообщении #498260 писал(а):

То есть ошибка в выкладках где-то позже этого шага.

К сожалению в выкладках не просто ошибка, а позорная ошибка. Будем исправлять:

profrotter в сообщении #498453 писал(а):

$$\rho=\frac {\frac{\sin(\theta_i)}{\sin(\theta_t)}\cos(\theta_i)-\cos(\theta_t)}{\frac{\sin(\theta_i)}{\sin(\theta_t)}\cos(\theta_i)+\cos(\theta_t)}=\frac {\sin(\theta_i)\cos(\theta_i)-\sin(\theta_t)\cos(\theta_t)}{\sin(\theta_i)\cos(\theta_i)+\sin(\theta_t)\cos(\theta_t)}\neq\frac{\sin(\theta_i-\theta_t)}{\sin(\theta_i+\theta_t)}$$

$$\rho=\frac {\frac{\sin(\theta_i)}{\sin(\theta_t)}\cos(\theta_i)-\cos(\theta_t)}{\frac{\sin(\theta_i)}{\sin(\theta_t)}\cos(\theta_i)+\cos(\theta_t)}=\frac {\sin(\theta_i)\cos(\theta_i)-\sin(\theta_t)\cos(\theta_t)}{\sin(\theta_i)\cos(\theta_i)+\sin(\theta_t)\cos(\theta_t)}=\frac {\sin(2\theta_i)-\sin(2\theta_t)}{\sin(2\theta_i)+\sin(2\theta_t)}=$$

$$=\frac{\cos(\theta_i+\theta_t)\sin(\theta_i-\theta_t)}{\sin(\theta_i+\theta_t)\cos(\theta_i-\theta_t)}=\frac {\tg(\theta_i-\theta_t)}{\tg(\theta_i+\theta_t)}$$

Так что все три формулы рабочие.

Munin в сообщении #498561 писал(а):

Это, вообще говоря, банальность: лучи не коллинеарны, чтобы иметь одну и ту же разность фаз во всём пространстве. Фразы "фаза не меняется", "фаза меняется на $\pi$", как обычно, относятся только к точке отражения / преломления. Впрочем, возражений к констатации банальностей у меня нет. Повторение - мать учения.

Поскольку возражений вы не имеете, я хотел бы отметить ещё одну банальность. Мы рассматриваем гармонически колеблющееся электромагнитное поле. Оно тут, оно там, - оно повсюду и всегда. Это единый, неограниченный во времени и пространстве электромагнитный процесс , при математическом описании которого формально выделены три составляющие (три взаимосвязанных волновых процесса), которые условно называют падающей, отражённой и преломлённой волнами. Рассматривать этот единый процеcс будто мячик, который отскакивает от стенки некорректно (если не сказать больше - нельзя). Потому и некорректно говорить о том, что "при отражении / преломлении фаза меняется на". Корректно говорить о разности фаз / начальных фаз падающей, отражённой и преломлённой волн.
Теперь, когда с банальностями покончено поясним почему при положительном коэффициенте отражения в случае параллельной поляризации на границе раздела сред (ГРС) составляющие вектора напряжённости электрического поля падающей и отражённой волн, параллельные ГРС, имеют разность фаз, равную $\pi$.

На рисунке $\xi^{(0)},\xi^{(-)}$ - направления распространения падющей и отражённой волн соответственно. Поскольку коэффициент отражения в рассматриваемом случае положителен, то на ГРС векторы напряжённости магнитного поля имеют одинаковое направление. Соответствующее направление векторов напряжённости электрического поля должно быть таким, чтобы направление вектора Пойтинга

$$\overrightarrow{\text{П}}^{(0,-)}=[\overrightarrow{E}^{(0,-)},\overrightarrow{H}^{(0,-)}]$$

совпадало с направлением распространения волны (падающей и отражённой соответственно). С учётом этого делаем рисунок и видим, что составляющие векторов напряжённости электрического поля, параллельные ГРС, противоположны. Это утверждение верно только на ГРС. Об общем случае уже было сказано.

Возвращаясь к исходному сообщению темы, скажем, что из самой формулы Френеля ничего этого не видно - видна лишь положительность коэффициента отражения при указанных условиях.