Функция распределения

[biv171]

Здравствуйте.

Задача:
Дана совместная функция распределения$F(s,t) = \frac{s} {s + t}$ необходимо найти совместную функцию распределения функции $G(\frac{s} {s + t},t)$? $s$ и $t$-случайные величины

Ход решения:

Замены:
$u=\frac {s} {s+t}$
$v=t$

Мы знаем формулу перехода от одних величин к другим:
$\int\int F(s,t) \,dsdt=\int\int F[s(u,v), t(u,v)]\left| \frac {D(s,t)} {D(u,v)} \right| \,dudv$

Вычисляем якобиан:
$\frac {D(s,t)} {D(u,v)}=\frac{ds}{du}$

Далее имеем(интегрируем по одной величине):
$F_1[u]=\int F_2[u,v]\,dv$

то есть :
$F_1[u]=\int F[s(u,v),t(u,v)]\frac {ds} {du} \,dv$

До этого моменты вроде бы все понятно, меня же интересует функция $F[s(u,v),t(u,v)]$ -в данном случае какова она должна быть?и как ее определить?

Заранее спасибо.

[Хорхе]

Какой-то невообразимый бардак в обозначениях. То $s$ и $t$ -- случайные величины, то аргументы функции распределения, которая и функцией распределения не является, так как не возрастает по $t$.

[biv171]

Извините, мой бред,неправильно понял поставленную задачу:

Задача:
Пусть даны $s$ и $t$ -дискретные независимые случайные величины, которые распределяются по биномиальному закону с вероятностями $p$ и $q$. Надо найти следующее отношение $\frac {s} {s+t}$?

[--mS--]

biv171 в сообщении #498821 писал(а):

Надо найти следующее отношение $\frac {s} {s+t}$?

Не надо его искать, оно дано. Что всё-таки требуется найти?

[biv171]

неправильно выразился: надо найти функцию распределения $P(\frac {s} {s+t})$

[--mS--]

biv171 в сообщении #498884 писал(а):

неправильно выразился: надо найти функцию распределения $P(\frac {s} {s+t})$

Дайте определение объекта, который хотите искать. Вряд ли кому-либо тут понятно, что такое $P(\frac {s} {s+t})$. Мне - нет.

[biv171]

Задача стандартная в теории вероятности:

Пусть дискретные случайные величины $s$ и $t$ независимы и имеют биномиальное распределение соответственно. Найти распределение отношения $\frac {s} {s+t}$ случайных величин?

[--mS--]

Задача-то стандартная, а вот под стандартными терминами Вы понимаете что-то совсем не стандартное. Давайте всё же попробуем найти общий язык. Что Вы понимаете под "найти распределение" данного отношения случайных величин? Что конкретно хотите искать?

P.S. Кстати, Вас не смущает, что данное отношение иногда принимает вид $\frac00$ ?

[biv171]

1."Что Вы понимаете под "найти распределение" данного отношения случайных величин?"

- найти функцию рапределения случайной величины $ z $,которая равна отношению:$z= \frac {s} {s+t}$

2. "P.S. Кстати, Вас не смущает, что данное отношение иногда принимает вид $\frac 0 0$ "

-опустим этот вариант.

[--mS--]

Ну вот видите: обычно, когда речь идёт о нахождении распределения дискретной случайной величины, ищут совсем не функцию распределения. Поэтому уверенности в том, что мы говорим об одном и том же, до сих пор нет. Дайте определение той функции, которую хотите искать. Страница уже кончается, а Вы до сих пор этого не сделали.

Ну и покажите, как Вы пробовали её искать, и какие возникли проблемы.

З.Ы. Всё же интересно, куда это мы опустим ноль на ноль? А вероятность этого события куда денем?

[biv171]

"Дайте определение той функции, которую хотите искать"
- $P(z) =P(\frac {s} {s+t} = z)$

"Ну и покажите, как Вы пробовали её искать, и какие возникли проблемы."
- Проблемы возникли в этом отношении$\frac {s} {s+t}$, то есть например: если бы мне надо было найти распределение суммы двух случайных величин $s$ и $t$ (в дискретном виде), то я бы воспользовался композицией:

$P(s+t=z)=\sum _i P(s=x_i)P(t=z-x_i)$

и подставив нашел бы, но в моем случае у нас не простая сумма, а отношение $\frac {s} {s+t}$, вот тут и проблема что делать дальше, может быть упростить отношение:

$\frac {s} {s+t} = \frac 1 {1+\frac t s}$
сделав замену:$w = \frac t s$ и рассматривать уже новую функцию распределения:
$Q(\frac 1 {1+w}= z)$
вот тут нужна ваша помощь...

[--mS--]

biv171 в сообщении #499322 писал(а):

"Дайте определение той функции, которую хотите искать"
- $P(z) =P(\frac {s} {s+t} = z)$

Вот уже и приплыли. Это НЕ функция распределения. Это называется таблицей, рядом распределения - как угодно, но НЕ функцией распределения. Вы и в предыдущей теме, про совместное распределение, под "функцией распределения" понимали то же самое?

Давайте так: запишите сюда, какие значения может принимать случайная величина $s$ и с какими вероятностями. То же самое - для $t$.
Потому как, опять-таки, я не знаю, что такое "биномиальное распределение с параметром $p$". И никто не знает. После этого можно будет уже и искать вероятности $\mathsf P(\frac {s} {s+t} = z)$.

-- Пт ноя 04, 2011 22:48:58 --

biv171 в сообщении #499322 писал(а):

- Проблемы возникли в этом отношении$\frac {s} {s+t}$, то есть например: если бы мне надо было найти распределение суммы двух случайных величин $s$ и $t$ (в дискретном виде), то я бы воспользовался композицией:

$P(s+t=z)=\sum _i P(s=x_i)P(t=z-x_i)$

и подставив нашел бы, но в моем случае у нас не простая сумма, а отношение $\frac {s} {s+t}$, вот тут и проблема что делать дальше, ...

Ну и, пока суд да дело: не вижу никакой принципиальной разницы между суммированием вероятностей паре величин принимать пару значений, сумма которых фиксирована, или какая-то другая функция от них фиксирована:

$$\mathsf P\left(\frac{s}{s+t}=z\right) = \sum\limits_{(i,\, j)\,:\, \frac{a_i}{a_i+b_j}\,=\,z} \mathsf P(s=a_i)\mathsf P(t=b_j).$$

В любом случае приходится тупо перебирать все возможные варианты случайным величинам принимать такие значения, которые дают в результате $z$.

[biv171]

Извините, все смешалось в голове(с непрерывном случаем)...

Значит задача правильно звучит так:
Случайные величины $s$ и $t$ независимы и распределены по биномиальному закону
$P(s=m)=\frac {n!} {m!(n-m)!} p_0^m q_0^{n-m}$
$P(t=w)=\frac {n!} {w!(n-w)!} p_1^w q_1^{n-w}$

Найти закон распределения их отношения $\frac {s} {s+t}$

Так правильно? так понятно? -Извиняюсь за неграммотность в теории вероятности.

[--mS--]

biv171 в сообщении #499384 писал(а):

Случайные величины $s$ и $t$ независимы и распределены по биномиальному закону
$P(s=m)=\frac {n!} {m!(n-m)!} p_0^m q_0^{n-m}$
$P(t=w)=\frac {n!} {w!(n-w)!} p_1^w q_1^{n-w}$

Так правильно, так понятно. Никакого красивого ответа Вы всё равно не получите, а процесс перебора описан в предыдущем сообщении. Например, если $n=3$ (имеем два биномиальных распределения с параметрами 3 и $p_0$, 3 и $p_1$ соответственно), то указанная дробь будет равняться
$\frac{0}{0}$ - не знаю, куда Вы это "значение" хотите приспособить - с вероятностью $q_0^3q_1^3$,
$1 = \frac{1}{1+0}=\frac{2}{2+0}=\frac{3}{3+0}$ - с вероятностью $\mathsf P(s\neq 0)\mathsf P(t=0)=q_1^3(1-q_0^3)$,
$0 = \frac{0}{0+1}=\frac{0}{0+2}=\frac{0}{0+3}$ - с вероятностью $\mathsf P(s=0)\mathsf P(t\neq 0)=q_0^3(1-q_1^3)$,
$1/2 = \frac{1}{1+1}=\frac{2}{2+2}=\frac{3}{3+3}$ - с вероятностью $\sum_{k=1}^3\mathsf P(s=k)\mathsf P(t = k)$,
а ещё куча "индивидуальных" значений:
$1/3=\frac{1}{1+2}$ с вероятностью $\mathsf P(s=1)\mathsf P(t=2)$,
$1/4=\frac{1}{1+3}$ с вероятностью $\mathsf P(s=1)\mathsf P(t=3)$,
$2/3=\frac{2}{2+1}$ с вероятностью $\mathsf P(s=2)\mathsf P(t=1)$, и ещё $2/5$, $3/4$, $3/5$.