ортогональная проекция точки на прямую в четырехмерном пр-ве

[maxmatem]

Найти ортогональную проекцию точки $A(1;-5;2;0)$ на прямую заданную следующим образом
$x^{1}=4+m$
$x^{2}=3+2m$
$x^{3}=-3-m$
$x^{4}=7+3m$

Я правильно понимаю, что надо найти координаты основания перпендикуляра $H$ ?
ясно что направляющий вектор прямой это $a(1;2;-1;3)$
но как найти эти координаты?

[ewert]

Напишите уравнение (гипер)плоскости, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой. И найдите пересечение это плоскости с прямой, т.е. решите соотв. простенькую систему уравнений.

[maxmatem]

а без гиперплоскости можно?

[ИСН]

Найдите расстояние до точки на прямой; у него где-то будет минимум...

[ewert]

maxmatem в сообщении #497663 писал(а):

а без гиперплоскости можно?

Грубо говоря -- нельзя. Вы обязаны уметь это делать, это стандартная подзадача.

[gris]

А через скалярное произведение двух очевидных векторов нельзя? Если, конечно, не грубо, а вежливо?

[ewert]

gris в сообщении #497670 писал(а):

А через скалярное произведение двух очевидных векторов нельзя?

Можно всё. И через минимизацию тоже можно. Однако выписывание уравнения плоскости -- шаг геометрически наиболее очевидный, и его необходимо уметь делать в любом случае, даже независимо от этой конкретной задачки.

(Оффтоп)

Поясню, почему наиболее. Потому, что есть двойственная задачка: спроецировать точку на плоскость. Вообще на аффинное многообразие любой размерности. И решаются все эти задачки идеологически совершенно одинаково.

[maxmatem]

gris
Пусть координаты основания перпендикуляра будут $H(y^{1};y^{2};y^{3};y^{4})$
Рассмотрим вектор $AH(y^{1}-1;y^{2}+5;y^{3}-2;y^{4})$
Рассмотрим $AH \cdot a=y^{1}-1+2y^{2}+10-y^{3}+2+3y^{4}=y^{1}+2y^{2}-y^{3}+3y^{4}+11=0$

[gris]

Ну так. Но ведь проекция лежит на прямой и $y^1=4+m$ и так далее. Подставляем, находим $m$.
Собственно, Вы и написали уравнение ewertовской гиперплоскости. Так что неявно она присутствует, хотя само слово не произносится
Можно было бы сразу рассматривать точку на прямой, тогда бы сразу получили линейное уравнение на $m$.
Кстати, представьте, что Вам нужно получить координаты проекции не на прямую, а на некую гладкую кривую, заданную параметрически. Там как бы и не просматриваются параллельные гиперплоскости, а вот скалярное произведение соединяющего вектора с касательной в каждой точке можно проанализировать.
Впрочем, это я навскидку, наверняка способ стандартен и утверждён.