Открытое отображение

[xmaister]

Здравствуйте! Нужно доказать теорему:
Непрерывное $f:X\to Y$ открыто в том и только в том случае, если существует такая база $\mathcal{B}$ пространства $X$, что $f(U)$ Открыто в $Y$ для любого $U\in\mathcal{B}$

Я рассматриваю произвольное открытое $U\subset X$. $U=\bigcup\limits_{s\in S}U_s$, $\{U_s\}_{s\in S}$- подсемейство базы.
Пусть $y\in f(\bigcup\limits_{s\in S}U_s)\Leftrightarrow y\in Y\wedge\exists x: \left(\bigvee\limits_{s\in S}x\in U_s\right)\wedge f(x)=y\Leftrightarrow$
$y\in Y\wedge \exists x:\bigvee\limits_{s\in S}\left(x\in U_s\wedge f(x)=y\right)\Leftrightarrow$
$y\in Y\wedge\bigvee\limits_{s\in S}\exists x:(x\in U_s\wedge f(x)=y)\Leftrightarrow$
$\bigvee\limits_{s\in S}y\in Y\wedge\exists x:(x\in U_s\wedge f(x)=y)\Leftrightarrow$
$\bigvee\limits_{s\in S}y\in f(U_s)\Leftrightarrow y\in\bigcup\limits_{s\in S}f(U_s)$
$f\left(\bigcup\limits_{s\in S}U_s\right)=\bigcup\limits_{s\in S}f(U_s)$, отсюда следует, что образ любого открытого- открыт.
Можете проверить, не допускаю ли я тут логической ошибки?

Благодарю.

[Joker_vD]

Да все правильно, образ объединения равен объединению образов, но вы, такое чувство, чуть было сами себя не уотпили во всех этих дизъюнкциях с конъюнкциями Поэтому я вам напишу еще одно доказательство этого факта, но чуть другое:

$$y\in f\left(\bigcup A_i\right) \Longleftrightarrow f^{-1}(\{y\}) \cap \left(\bigcup A_i\right) \ne \varnothing \Longleftrightarrow \bigcup \left(f^{-1}(\{y\}) \cap A_i\right) \ne \varnothing \Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow \bigvee \left(f^{-1}(\{y\}) \cap A_i \ne \varnothing\right) \Longleftrightarrow \bigvee \bigl(y\in f(A_i)\bigr) \Longleftrightarrow y \in \bigcup f(A_i).$$

Вообще, иногда полезно использовать такое определение образа множества: $y\in f(A) \Longleftrightarrow f^{-1}(\{y\}) \cap A\ne\varnothing$.

[xmaister]

Joker_vD, спасибо, приму на вооружение
Насчёт эквивалентности этих двух определений. Можете посмотреть правильно ли я её обосновал?
$y\in Y\wedge\exists x: x\in A\wedge f(x)=y\Rightarrow\exists x: x\in A\wedge x\in f^{-1}(\{y\})\Rightarrow$
$ A\cap f^{-1}(\{y\})\ne\varnothing$
$A\cap f^{-1}(\{y\})\ne\varnothing\Rightarrow\exists x: x\in A\wedge x\in f^{-1}(\{y\})\Rightarrow $
$y\in Y\wedge\exists x: x\in A\wedge y=f(x)\Rightarrow y\in f(A)$

[Joker_vD]

Да, все правильно. Вообще забавно, что прообраз множества определяется легче, чем образ множества.

$$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x) \in B\}$$

$$f(A) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X\colon f(x) = y\} = \{ y \in Y \mid f^{-1}(\{y\}) \cap A \ne\varnothing\} = \{ f(x) \mid x \in A\},$$

но последняя запись несколько расхлябана.

То есть, как ни крути, а "образ множества состоит из элементов, имеющих прообраз".