Теорема Лёвенгейма - Сколема для NBG

[alex_dorin]

Теорема Лёвенгейма - Сколема о понижении мощности -
если множество предложений в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет счётную модель.
Теорема Кантора гласит, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.
Отсюда следует, что теорема Кантора не выразима в NBG.
Это так ?

[Someone]

alex_dorin в сообщении #497057 писал(а):

Отсюда следует, что теорема Кантора не выразима в NBG.

Почему вдруг?

Мощность не является абсолютным понятием. Модель NBG является счётной в метатеории, в которой мы эту модель построили, а в самой NBG несчётные множества никуда не делись (хотя с точки зрения метатеории они счётны).

[alex_dorin]

хотелось бы увидеть как в NBG выглядит (чисто описательно) множество p(p(A))
где А - счетное множество
p - операция взятия всех подмножеств множества

[Someone]

Так же, как и в ZFC. А что значит - "выглядит"? Могу предложить, например, такую интерпретацию.

Рассмотрим двухэлементное множество $D=\{0,1\}$. Тогда для любого множества $A$ и любого его подмножества $B\subseteq A$ можно определить отображение (функцию) $\varphi\colon A\to D$ по формуле

$$\varphi a=\begin{cases}1\text{, если }a\in B,\\ 0\text{, если }a\in A\setminus B.\end{cases}$$

Эта функция называется характеристической функцией подмножества $B$.
Наоборот, зная функцию $\varphi\colon A\to D$, можно восстановить $B$ по формуле

$$B=\{a\in A:\varphi a=1\}.$$

Множество отображений $\varphi\colon A\to D$ обозначается $D^A$, или, учитывая, что множество $D$ является стандартным представлением числа $2$ в теории множеств, используется обозначение $2^A$ (это же обозначение используется и для множества подмножеств).

Ну вот и представляйте себе множество подмножеств как множество отображений в двухэлементное множество.

[alex_dorin]

те любой объект в этом счетном множестве строится как суперпозиция конечного числа функций, каждая из которых имеет не более чем счетную область определения и область значений ?

[Someone]

alex_dorin в сообщении #498357 писал(а):

те любой объект в этом счетном множестве строится как суперпозиция конечного числа функций, каждая из которых имеет не более чем счетную область определения и область значений ?

Вы знаете, это звучит как абракадабра какая-то. Я ничего подобного не писал. Я просто написал, что множеству подмножеств множества $A$ можно некоторым естественным образом сопоставить множество функций, определённых на множестве $A$ и принимающих значения в двухэлементном множестве $D=\{0,1\}$. И всё. Ни про какие суперпозиции или счётные множества я не писал.

[alex_dorin]

исправление --
любой объект в этом счетном множестве ( модели минимальной мощности) строится как суперпозиция конечного числа функций, каждая из которых имеет не более чем счетную область определения и конечную область значений ?

[Someone]

Хм... Я вот смотрю на доказательство теоремы Лёвенгейма - Скулема в книге Коэна (Глава I, § 5), и не вижу там ничего подобного.

П.Дж.Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969.