Решить ситему уравнение

[myra_panama]

Решите Систему уравнение:

$\left\{ \begin{array}{rl}2^x+3^x=5^y \\ 2^y+3^y=5^z\\2^z+3^z=5^x\end{array}\right. $

(Оффтоп)

ответом будет: x=y=z=1, Но как?

[Хорхе]

Рассмотрите случаи $x\le y\le z$ и $x\ge y\ge z$. Прийдите к выводу о равенстве. Ну и практически все.

[myra_panama]

Хорхе в сообщении #496385 писал(а):

Рассмотрите случаи $x\le y\le z$ и $x\ge y\ge z$

Извиняюсь за тупость, но как использовать эти случаи...?

(Оффтоп)

Из $x<y$, получим:
$2^x+3^x<5^x$, отсюда
$(\frac25)^x+(\frac35)^x<1$
и это невозможно... и так далее? Правильно ли я следую?

[Хорхе]

Если $x\ge y$, то $5^x\ge 5^y$ и так постепенно приходим к противоречию равенству.

[Klad33]

Доказать можно так: Из первого уравнения

$y={\frac {\ln \left( {2}^{x}+{3}^{x} \right) }{\ln \left( 5 \right) }}$

Строим графики уравнений для этого y и для $2^y+3^y=5^z , заменяя z на x. В итоге получим пересечение:



То же самое проделать с другими парами уравнений.

[Алексей К.]

Тупое решение:
заменяем первое уравнение на $(x\geqslant y\geqslant 1 \cup x\leqslant y\leqslant 1) \cap (\text{аналогично второе})\cap (\text{третье})$, вызываем специалиста, который умеет эти штуки упрощать (ДНФ-ами это, кажется, называется; толпами тут ходют).

[Хорхе]

(тут были глупости)

-- Чт окт 27, 2011 12:49:55 --

Алексей К. в сообщении #496412 писал(а):

Тупое решение:
заменяем первое уравнение на $(x\geqslant y\geqslant 1 \cup x\leqslant y\leqslant 1) \cap (\text{аналогично второе})\cap (\text{третье})$, вызываем специалиста, который умеет эти штуки упрощать (ДНФ-ами это, кажется, называется; толпами тут ходют).

Ну где-то те же овальные предметы, что у меня, которые в итоге дают $x=y=z$ и только. Разве что можно еще мимоходом заметить, что в неравенствах $x\ge y\ge 1$ и $x\le y\le 1$ если одно строгое, то и второе тоже, тогда овалы будут немного другие и дадут сразу $x=y=z=1$.

(some explanation)

The TS might wonder what ovals I'm speaking about. There is a Russian idiom saying "the same eggs but en face" (or "the same eggs but sideways").

[svv]

(Хорхе)

Никогда бы не понял, что за овалы, без Вашей английской экспланации.

(myra_panama)

Теперь соп соп соп?