Интеграл

[RIP]

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+\frac12)^2}=?$$

[maxal]

http://integrals.com

[RIP]

Так нечестно!

[ИСН]

Зато чертовски действенно (в общем случае, не в этом конкретно).
А через элементарные он не выражался бы, даже будь внизу первая степень. Всё лезут какие-то проклятые Erf...

[bot]

Ну я сначала попробовал на уровне идеи, а потом полез по ссылке. А там оказывается уметь надо - так что ничего я оттуда не узнал, по предложенному там вижу, что неопределённые можно разгибать.
А идея такая - до конца не просчитывал, но вроде всё путём:
1) Домножаю на $e^{-\frac{1}{2}}$ - добавка легко интегрируется.
2) Ввожу множитель $t$ в экспоненте: $e^{t(-x^2 - \frac{1}{2})}$
3) Дважды дифференцирую интеграл по $t$ (вроде всё законно) и уничтожаю знаменатель.
4) Удваиваю интеграл, заменив нижний предел на $-\infty$
5) Возвожу его в квадрат и перехожу к полярным координатам
6) Вроде нет препятствий для вычисления
7) Дважды интегрирую полученное и подставляю $t=1$

P.S. Шаг 4) можно и не выполнять - зачем мне вся плоскость, если и четвертью можно обойтись.

[RIP]

bot писал(а):

Ну я сначала попробовал на уровне идеи, а потом полез по ссылке. А там оказывается уметь надо - так что ничего я оттуда не узнал, по предложенному там вижу, что неопределённые можно разгибать.
А идея такая - до конца не просчитывал, но вроде всё путём:
1) Домножаю на $e^{-\frac{1}{2}}$ - добавка легко интегрируется.
2) Ввожу множитель $t$ в экспоненте: $e^{t(-x^2 - \frac{1}{2})}$
3) Дважды дифференцирую интеграл по $t$ (вроде всё законно) и уничтожаю знаменатель.
4) Удваиваю интеграл, заменив нижний предел на $-\infty$
5) Возвожу его в квадрат и перехожу к полярным координатам
6) Вроде нет препятствий для вычисления
7) Дважды интегрирую полученное и подставляю $t=1$

P.S. Шаг 4) можно и не выполнять - зачем мне вся плоскость, если и четвертью можно обойтись.

Обозначив $I(t)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-t(x^2+\frac12)}dx}{(x^2+\frac12)^2}$, я получил
$I''(t)=\frac{\sqrt{\pi}}2\frac{e^{-\frac t2}}{\sqrt t}$.
Как Вы это интегрируете, если не секрет?
P.S. Задачка имеет очень простое решение.

[bot]

RIP писал(а):

Обозначив $I(t)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-t(x^2+\frac12)}dx}{(x^2+\frac12)^2}$, я получил
$I''(t)=\frac{\sqrt{\pi}}2\frac{e^{-\frac t2}}{\sqrt t}$.

Да, в точности. Не просчитал до конца, что получится - я ведь без бумажки прикидывал.

Цитата:

Как Вы это интегрируете, если не секрет?

Облом, стало быть. Не берущийся в неопределённом варианте.

[RIP]

Замечательно то, что из всех интегралов вида $I(a,b)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+a)^b}$ с $a>0,b>0$ я умею считать только $I(\frac12,2) $

[ИСН]

RIP, вот теперь Вы меня заинтриговали по-настоящему.
(Что ответ равен 2\sqrt\pi, понятно, но это ерунда по сравнению с тем, почему).

Добавлено спустя 16 минут 9 секунд:

Upd. Я вижу, каким образом это животное его приводит к чему-то человеческому, но легче мне от этого не стало.

Добавлено спустя 58 секунд:

Не подумайте худа, животное - это детище Вольфрама.

[RIP]

Докажите, что
1.

$$\int\limits_0^{\infty}\prod_{k=1}^n\frac{k^2}{k^2+x^2}dx=\frac{\pi n}{4n-2}$$

2.

$$\int\limits_0^{\infty}\frac{x}{\sh x }dx=\frac{\pi^2}4$$

.

[Юстас]

RIP писал(а):

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+\frac12)^2}=?$$

А почему бы не применить комплексное интегрирование? $\frac {i} {\sqrt2}$ - полюс второго порядка, интегрируем по полуокружности в верхней полуплоскости и всё.

[RIP]

Юстас писал(а):

RIP писал(а):

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+\frac12)^2}=?$$

А почему бы не применить комплексное интегрирование? $\frac {i} {\sqrt2}$ - полюс второго порядка, интегрируем по полуокружности в верхней полуплоскости и всё.

Проблема с экспонентой в числителе.

[Юстас]

А в чём именно проблема? Что-то я видимо недопонимаю.

[RIP]

Интеграл по окружности не будет стремится к нулю.

[Юстас]

Всё, понял свою ошибку.