Посчитать сумму ряда с рекуррентно заданными слагаемыми.

[Legioner93]

Рекуррентно задано $a_{n}=\frac{2-S-\sqrt{2-S^2}}{2}$, где $S=\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_{k}$
Хочется посчитать сумму ряда $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a^2_{n}$
Так как ряд задан в такой неприветливой форме, то найти аналитическое выражение для суммы будет непросто, верно?
Посчитал сумму численно, получается около $0.13529005$. Попытки угадать число с помощью wolframalpha не увенчались успехом.
Кто-нибудь знает, как считать такие страшные суммы?
Позже выложу, как это ряд был получен. Кстати, $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{n}=1$, может кому поможет.

[maxal]

Для начала введите обозначения $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$, выразите $a_n = S_n - S_{n-1}$ и избавьтесь от иррациональности в рекуррентной формуле.

[arseniiv]

(Это так, на всякий случай.)

Не смотрели в обратном калькуляторе? Вот что говорит:

Цитата:

Standard lookup results for 0.13529005

Best guess: F(4/19;41/48;1)

F(4/19;41/48;1)
1352900337743795

(Gibbs+Golomb)^(1/3)
1352900401680976

sum(1/(5^n*(3/2*n^3-9*n^2+37/2*n+7)),n=1..inf)
1352900541878842

-9+8*x+9*x^2+x^4
1352900594687792

-4+2*x-3*x^2-x^3-4*x^4+5*x^5
1352900665405598

ln(Pi)^arctan(1/2)*ln(Pi)^sr(Pi)
1352900668874102

2^(1/3)^(Feig1*Bernstein)
1352900705688131

Судя по числам, наверно, это всё же не то, что вам нужно (хотя гипергеометрическая функция мало ли где вылезет). Может, будет больше цифр (щас сам попробую в Mathematica посчитать)?

Интересно потом сравнить, правильно ли угадал калькулятор.

UPD: Посчитал с большим количеством значащих цифр, но результаты по нему вообще не нашлись.

Решил тоже порешать как предлагает maxal. Скажите, верно ли $4S_n^2 - 4S_n S_{n-1} + 8S_n + 2 + 2S_{n-1}^2 - 4S_{n-1} = 0$ при ограничении $2S_n + S_{n-1} + 2 \leqslant 0$ (которое получается при возведении в квадрат)?

[maxal]

arseniiv в сообщении #495759 писал(а):

Скажите, верно ли $4S_n^2 - 4S_n S_{n-1} + 8S_n + 2 + 2S_{n-1}^2 - 4S_{n-1} = 0$

Вроде пара знаков тут другая: $4S_n^2 - 4S_n S_{n-1} - 8S_n + 2 + 2S_{n-1}^2 + 4S_{n-1} = 0$ - проверьте еще раз...

[Legioner93]

maxal в сообщении #495780 писал(а):

$4S_n^2 - 4S_n S_{n-1} - 8S_n + 2 + 2S_{n-1}^2 + 4S_{n-1} = 0$

Да, так. А что дальше-то? Пока не вижу, как эта нехитрая манипуляция может помочь в решении.

-- Вт окт 25, 2011 02:51:58 --

arseniiv
За ссылку спасибо, там не смотрел. Но сайт хороший.

[maxal]

Дальше можно это записать так:
$2(S_n-S_{n-1})^2 = - 2 (S_n - 1)^2 + 4 (S_n - S_{n-1})$

Откуда например следует, что $\sum_n a_n^2 = 2 - \sum_n (S_n - 1)^2$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Некоторые манипуляции с выражениями я до сих пор не умею делать… Интересно выходит! Если бы я продолжал, я бы попытался с помощью формулы корней квадратного уравнения, и было бы невесёлое продолжение.

[Legioner93]

maxal
Интересно:) Но как считать сумму квадратов сумм? Ещё посмотрю, что можно получить из того выражения.
Как вообще решать квадратные рекуррентные уравнения?

[maxal]

Legioner93 в сообщении #495913 писал(а):

Как вообще решать квадратные рекуррентные уравнения?

Подозреваю, что общей теории нет. Обычно крутишь их вертишь в надежде, что что-то полезное вылезет. Иногда вылезает, но чаще - нет.
Недавно вот мне удача немного улыбнулась в этом вопросе:
http://mathoverflow.net/questions/62619 ... 3235#63235

-- Tue Oct 25, 2011 08:30:37 --

Кстати, может и в вашей задачи стоит поискать решение в рядах...

[Legioner93]

Вот что пока получилось ещё. Если обозначить $x_n=1-S_n$, то уравнение преобразуется в $x^2_n+(x_n - x_{n-1})^2+2(x_n - x_{n-1})=0$, откуда следует $x_n = \frac{2}{n}+o(\frac{1}{n})$ (это правильно?). Отсюда мы по крайней мере уже получаем, что нужный нам ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (S_n -1)^2=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^2_{n}$ сходится:)

[Legioner93]

Дальше особо не продвинулся. Т.к. интерес к теме угас, выкладываю исходную задачу.

Посчитать площадь фигуры. Длина стороны самого большого квадрата равна единице. Фигура составлена из квадратов, скользящих по окружности, начиная с углового квадрата со стороной $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
В моих обозначениях из предыдущих постов $a_n$ - длина стороны $n$-ого квадратика, $a^2_n$ - соответственно его площадь, $x_n$ - высота $n$-ого квадрата "над землей". Тогда легко получается рекуррентное соотношение $x^2_n + (x_n - x_{n-1}+1)^2=1$, если провести радиус к точке касания $n$-ого квадрата и окружности. Это соотношение и было в последнем посте.
Жду мнений касательно задачки.