binomial sum

[man111]

$(1)\;\; \displaystyle C_{2n+1}^1-2.2C_{2n+1}^2+3.2^2C_{2n+1}^2-4.2^3C_{2n+1}^1.............+(2n+1).2^{2n}C_{2n+1}^{2n+1}=$

(2) If $A\;,B\;,C $ are three angles and $a\;,b\;c$ are three sides of a $\triangle$ then prove that

$\left(1+\cos A+\cos B+\cos C\right)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}.C_{n}^k.C_{k}^i\left\{\left(\frac{b+c}{a}-1\right).\frac{2\tan^2 \frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}\right\}.i$

[nnosipov]

(1) Имеем

$$ \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} k2^{k-1}C_m^k=(-1)^{m-1}m, $$

что получается из $(1+x)^m=\ldots$ дифференцированием по $x$ и последующей подстановкой $x=-2$.

[man111]

Thank nnosipov

any idea about (2)

[Dimoniada]

(2) Имеем
$\frac {b+c} a = \frac {sinA + sinB} {sinC}$,
$sinA + sinB - sinC = 4sin(\frac A 2)sin(\frac B 2)cos(\frac C 2);$
$cosA + cosB + cosC = 4sin(\frac A 2)sin(\frac B 2)sin(\frac C 2) + 1.$
Слева остаётся $(2 + 4sin(\frac A 2)sin(\frac B 2)sin(\frac C 2))^n$,
справа - $\sum^{n}_{k=0} C_n^k \sum^{k}_{i=0} C_k^i (4sin(\frac A 2)sin(\frac B 2)sin(\frac C 2))^i$.
Или если $4sin(\frac A 2)sin(\frac B 2)sin(\frac C 2) = l$, то остаётся показать

$$(2+l)^n = \sum^{n}_{k=0}C_n^k \sum^{k}_{i=0}C_k^i l^i.$$

Для $(1+(1+l))^n$ два раза пользуемся $(1+t)^j = \sum^{j}_{k=0}C_j^k t^k$ и всё получается.