экстремумы функции

[suel]

Здравствуйте!

дана функция: $z=x^4+y^4-x^2-y^2-2 x y$

получил 3 критические точки:

производная по x: $4 x^3-2 x-2 y$
производная по y: $4 y^3-2 y-2 x$

(-1,-1), (0,0), (1,1) - критические точки

в точке (0,0) $A B-C^2=0$ (матрица Гессе равна нулю )
Точки (-1,-1), (1,1) - точки минимума (это подтверждает и график)
На графике в точке (0,0) нет экстремума - но как это доказать?

Пытался так: $x^4+y^4-(x+y)^2$, если брать окрестность $(-1,1)$ [Вы, наверное, по-прежнему имеете в виду окрестность точки (0,0)? //AKM], то выражение $x^4+y^4-(x+y)^2 < 0$ - Могу ли на основании этого утверждать, что в этой точке нет экстремума? Если нет - какое тогда требуется дополнительное исследование?


Заранее всем спасибо!

[Klad33]

Достаточно рассмотреть диагонали y=-x и y=x. Видно, что это параболы четвертого порядка, у которых ветви идут в разные стороны. То есть имеет место не экстремум (в точке [0,0]) , а типичное "седло".

[suel]

Большое спасибо! Помогло