Два однотипных геометрических задания (треугольники)

[BENEDIKT]

Столкнулся с парой однотипных заданий, условия которых гласят:
1) Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также врешинами равнобедренного треугольника;
2) Доказать, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника. Доказать необходимо, используя теорему о признаке равнобедренности треугольника по 2 углам.

Попытки представления доказательств:
1) Одной из вершин "мини-треугольника" является срединная точка основания "большого" треугольника. Сответственно, вершины "малого" треугольника, расположенные в срединных точках боковых сторон, равноудалены от этой вершины. Следовательно, углы пересечения отрезков, соединяющих вершину, расположенную в середине основания с вершинами на боковых сторонах "большого" треугольника и отрезка, соединяющего боковые вершины, равны. (?)
Кроме того, боковые стороны "мини-треугольника" равны половине сторон "большого" треугольника, т. к. вершины "малого" являются срединными точками сторон "большого", а отрезки, являющиеся боковыми сторонами малого, проведены к середине основания "большого". Но как доказать, что отрезок, соединяющий вершины "малого", расположенные на боковых сторонах "большого" не равен боковым сторонам и треугольник является равнобедренным, но не равносторонним? Как доказать, что углы при его основании равны?
2) На этот раз проблема в том, что бы доказать равенство отрезка, соединяющего расположенные на боковых сторонах "большого" вершины "малого" треугольника и боковых сторон "малого" - отрезков, проведённых к основанию "большого" треугольника от вершин, расположенных на его боковых сторонах. При этом, доказательство равенства боковых сторон "малого" треугольника друг другу также под вопросом, ибо оно базируется на том же, что использовано и в 1-м пункте: вершины "малого" треугольника - срединные точки боковых сторон "большого", а отрезки, являющиеся боковыми сторонами "малого" треугольника, проведены в срединную точку основания "большого". Но само по себе это также не доказательство.
P.S. На этот раз треугольники также абстрактны.

[Joker_vD]

BENEDIKT в сообщении #495357 писал(а):

Сответственно, вершины "малого" треугольника, расположенные в срединных точках боковых сторон, равноудалены от этой вершины.

Ну, вот у вас уже две стороны в "мини-треугольнике" равны — т.е. он равнобедренный. Чего вам еще надо?

BENEDIKT в сообщении #495357 писал(а):

Доказать необходимо, используя теорему о признаке равнобедренности треугольника по 2 углам.

Тупое требование. Тут углы вообще незачем привлекать. Нет, если хотите, вы можете воспользоваться тем, что угловые тругольники подобны исходному треугольнику, и соответсвующие углы в подобных треугольниках равны, но... зачем все переусложнять?

[BENEDIKT]

Joker_vD в сообщении #495364 писал(а):

Ну, вот у вас уже две стороны в "мини-треугольнике" равны — т.е. он равнобедренный. Чего вам еще надо?

Но разве не следует также доказывать неравенство основания "малого" треугольника его боковым сторонам, т. е. то, что он не является равносторонним?

Цитата:

Тупое требование. Тут углы вообще незачем привлекать

Всё дело в том, что задание отнесено к параграфу, посвящённому теореме о признаке равенства треугольников по 2 углам.
А что ещё можно применить в данном случае?

[BVR]

BENEDIKT в сообщении #495395 писал(а):

Но разве не следует также доказывать неравенство основания "малого" треугольника его боковым сторонам, т. е. то, что он не является равносторонним?

Не следует. Внимательно прочитайте определение равнобедренного треугольника. Там не сказано ничего про третью сторону. Значит, она может быть равной боковым сторонам. То есть равносторонний треугольник - это частный случай равнобедренного.
То д-во, что вы привели, тоже не подходит. Ведь свойство средней линии тр-ка тоже еще не изучалось. Там надо применить первый признак равенства треугольников. А в задаче 2 - воспользоваться задачей 1.

[BENEDIKT]

Joker_vD, BVR
Благодарю за помощь!