Треугольник Герона со сторонами-квадратами

[edward]

Существует ли треугольник Герона, все стороны которого являются квадратами? Прямоугольных треугольников с таким условием не существует, и это легко доказать. А вот для тр-ков Герона (более общий случай) решения я не нашел. Метод "дурного перебора" на компе не дал результатов. Надеюсь, что кто-нибудь подскажет решение этой задачи.

[Хорхе]

Если не глючу, то тысячи их. Сейчас напишу.

-- Пт окт 21, 2011 23:05:04 --

Пока только с отрицательной площадью получаются

[Хорхе]

Не, чего-то не получается

[Legioner93]

edward в сообщении #494877 писал(а):

Прямоугольных треугольников с таким условием не существует, и это легко доказать.

БТФ?

[AD]

Ну это сильно частный случай же

[scwec]

Замечу, что в пифагоровых треугольниках даже две стороны не могут быть квадратами.
Поэтому резонно сначала выяснить насчет двух сторон в произвольных героновых треугольниках.
Возьмем натуральные $m\ne{n}$. $a,b,c,S$ - длины сторон и площадь в героновом треугольнике.
Положим $a=(m^2+n^2)^2$,$b=(m^2+n^2)^2$,$c=2|m^4+n^4-6{m^2}{n^2}|$,. Тогда $S=4mn|(m^2-n^2)(m^4+n^4-6{m^2}{n^2})|$ и получившийся равнобедренный треугольник действительно Геронов с двумя сторонами квадратами.
Можно еще так:$a=(m^2+n^2)^2$,$b=(m^2+n^2)^2$,$c=8|mn(m^2-n^2)|$ и та же площадь $S$.
И в первом и во втором случае $c$ не может быть квадратом, поскольку является в обоих случаях удвоенным конгруэнтным числом.
Теперь бы интересно написать формулы, дающие две неравные стороны-квадраты.

[scwec]

Формулы для геронова треугольника с хотя бы двумя сторонами-квадратами можно написать следующим образом.
Возьмем любой пифагоров треугольник с длинами сторон $a,b,c$ и $a^2+b^2=c^2$
Длины сторон искомого геронова треугольника $A=(c^4+4a^2b^2)^2$, $B=4c^4(a^2-b^2)^2$,
$C=4c^2(a^2-b^2)^3+|16a^2b^2c^4-(a^2-b^2)^4|$ и длина высоты, опущенной на $C$, есть
$H=8abc^2(a^2-b^2)^2$.
Уже из треугольника $(3,4,5)$ получается $A=1442401,B=122500,C=1471899$.
Совершенно не исключено, что $C$ может быть квадратом.
Очевидных причин для запрета этого, кажется, нет.

[edward]

"резонно сначала выяснить насчет двух сторон в произвольных героновых треугольниках."

Тр-ков Герона, имеющих две стороны-квадрата, бесконечно много:
16*25*39, 64*225*287, 100*289*291 и т.д.
Даже если найти формулу для таких тр-в, она не решает проблему.

"Совершенно не исключено, что С может быть квадратом.
Очевидных причин для запрета этого, кажется, нет."

Однако, машина не может найти такие тр-ки.

[pastimur]

Интересный треугольник получается!

[scwec]

Переходя от двух сторон к трем, хочу сообщить, что этот вопрос пока открыт, см. например,
http://math.ca/crux/v27/n1/page22-26.pdf. Так что (если верить автору статьи) есть ли три квадрата, нет ли трех квадратов, это науке еще неизвестно.
Кстати, та параметризация (одна из многих возможных), которую я написал в последнем сообщении и которая гарантирует две стороны-квадрата для бесконечного множества не обязательно подобных треугольников, основана на удвоении точек эллиптических кривых. И при большом желании можно попытаться найти условия, если очень повезет, при которых $C$ будет квадратом.
Или уж напрямую решать в натуральных числах уравнение $(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2-z^2)(x^2+z^2-y^2)(y^2+z^2-x^2)=16S^2$ при $x^2+y^2>z^2$, $y^2+z^2>x^2$, $x^2+z^2>y^2$.

[edward]

scwec в сообщении #496893 писал(а):

Переходя от двух сторон к трем, хочу сообщить, что этот вопрос пока открыт, см. например,
http://math.ca/crux/v27/n1/page22-26.pdf. Так что (если верить автору статьи) есть ли три квадрата, нет ли трех квадратов, это науке еще неизвестно.

Казалось бы, о треугольниках известно всё. А на такой простой вопрос ответа нет. Значит, мы ещё многие элементарные вещи не знаем.
Предлагаю решить поставленную проблему на этом форуме.

[scwec]

Ответ на вопрос о трех квадратах, видимо, на самом деле не прост и совсем не элементарен.
Со своей стороны, если наткнусь на решение, обязательно сообщу.

[grisania]

edward в сообщении #497047 писал(а):

scwec в сообщении #496893 писал(а):

Переходя от двух сторон к трем, хочу сообщить, что этот вопрос пока открыт, см. например,
http://math.ca/crux/v27/n1/page22-26.pdf. Так что (если верить автору статьи) есть ли три квадрата, нет ли трех квадратов, это науке еще неизвестно.

Казалось бы, о треугольниках известно всё. А на такой простой вопрос ответа нет. Значит, мы ещё многие элементарные вещи не знаем.
Предлагаю решить поставленную проблему на этом форуме.

Существует много целочисленных треугольников, у которых все стороны - квадраты целых чисел, но площадь - нецелое. Например,
$a=125^2, b= 244^2, c=267^2$. При этом
$p=25 \cdot 29 \cdot 101$, $p-a=240^2$, $p-b=117^2$, $p-c=44^2$. Следовательно,
$S=\sqrt{p(p-a) (p-b) (p-c)}= 30888000\sqrt{29 \cdot 101}$
Целочисленными треугольниками, у которых все стороны - квадраты целых чисел, но площадь - нецелое, будут следующие треугольники:
• $ (157^2, 725^2, 732^2) $;
• (500^2, 707^2, 843^2) $;
• (281^2, 808^2, 825^2) $;
• (348^2, 365^2, 373^2) $.
У этих треугольников $p-a, p-b, p-c$ будут квадратами целых чисел, а полупериметр $p$ нет.

Мое мнение - эта проблема очень трудная, и она, наверно, потребует привлечения сложного мат. аппарата, например, теории эллиптических кривых.

[arqady]

Вот пример:
http://srv2.jpg.co.il/2/54d08d87a5f26.jpg

[grisania]

arqady в сообщении #973372 писал(а):

Вот пример:
http://srv2.jpg.co.il/2/54d08d87a5f26.jpg

Из формулы Герона для площади треугольника имеем диофантово уравнение

$16S^2 = (a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4).$

Если стороны - квадраты ($a=x^2, b=y^2, c=z^2$), то имеем диофантово уравнение

$16S^2 = (x^4+y^4+z^4)^2+2(x^8+y^8+z^8).$ (1)

Пример выше показывает, что диофантово уравнение (1) имеет хотя бы одно положительное решение. Наверно должны быть ещё положительные решения? Это одно положительное решение какое-то несуразное.