Лин.Алгебра. Задача об операторе отражения

[morek]

Уважаемые посетители форума, прошу подскажите путь решения следующей задачи:
Дан некий базис \left(e_{1},e_{2},e_{3}\right)

Необходимо найти матрицу оператора отражения трёхмерного пространства в подпространстве
L\left(2e_{1}+3e_{2}+e_{3}, e_{1}+2e_{2}+2e_{3}\right) параллельно
L\left(3e_{1}+4e_{2}+e_{3}\right)

Смущает слово отражение, имеется ли здесь ввиду оператор проектирования или нет?
В случае с оператором проектирования, согласно построению оного, у нас будет прямая сумма двух подпространств (назовём их для удобства $L_{1}, L_{2}$), т.е. $L_{1}\oplus L_{2}=R^{3}$ Но, собственно, тогда оператор с матрицей: $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $ и будет оператором проектирования. Можно также предположить, что нужен оператор отражения относительно некоторой прямой, координаты которой в базисе \left(e_{1},e_{2},e_{3}\right) вычисляются через $\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1\\ \end{pmatrix} $ на столбец векторов $e$
Но как в этом случае посчитать матрицу оператора отражения?

[bot]

morek в сообщении #494781 писал(а):

Смущает слово отражение

А чего смущаться? В зеркало смотрелись? Вот в зазеркалье и есть Ваш образ при отражении.

[morek]

Но в одномерное подпространство я смотреться не пробовал. А потому интуитивно не могу понять, что это будет за отражение.

[ИСН]

Но в случае обычного зеркала Вы же можете описать происходящее в терминах подпространств и проекторов?

[morek]

ИСН в сообщении #494793 писал(а):

Но в случае обычного зеркала Вы же можете описать происходящее в терминах подпространств и проекторов?

Да, пожалуй. Трёхмерный я, отражаюсь в зеркале. Соответственно зеркало проецируют меня на 2-мерное подпространство. Это ясно. Не ясно только параллельно чему.

[ИСН]

Не так. Вы - это сложно, пусть будет один вектор. Так вот, он отображается нифига не в двумерное пространство, а в обычное трёхмерное (только воображаемое - но это неважно для наших целей). Как он это делает?

-- Пт, 2011-10-21, 17:33 --

"Параллельно чему" - лишний вопрос. Нет таких слов. Есть вектор, есть проектор. Можно складывать, вычитать. Всё.

[morek]

ИСН в сообщении #494803 писал(а):

Не так. Вы - это сложно, пусть будет один вектор. Так вот, он отображается нифига не в двумерное пространство, а в обычное трёхмерное (только воображаемое - но это неважно для наших целей). Как он это делает?

-- Пт, 2011-10-21, 17:33 --

"Параллельно чему" - лишний вопрос. Нет таких слов. Есть вектор, есть проектор. Можно складывать, вычитать. Всё.

В задаче есть слово 'параллельно', а также слово 'линейный оператор', который можно представить как матрицу, а действуя оператором на вектор, мы умножаем матрицу на вектор.

По поводу зеркала, если вектор - направленный отрезок и лежит в плоскости зеркала, то зеркало его переводит в само себя, в противном случае, есть матрица поворота, здесь думаю подойдёт матрица поворота на угол 2$\varphi$. ($\varphi$ - угол с плоскостью зеркала. Будем считать, что оно плоское;)А что дальше?

[ИСН]

Моё замечание про слово "параллельно" относилось не к задаче в целом - там-то оно есть - а только к тому, что я Вас прошу сформулировать: закон преобразования векторов зеркалом. Через матрицы, конечно, тоже можно; но я прошу сделать не через матрицы. И там не поворот, кстати.

[morek]

С законом трудновато. тут очень многое зависит от взаимного расположения вектора и зеркала. И положения зеркала в пространстве. Скажем зеркало образовано двумя перпендикулярными прямыми, проходящими через некую точку отсчёта(начало координат), тогда это самое зеркало будет менять одну из координат вектора на противоположную. (считай умножает на -1).

P.S. Спасибо, что заставляете подумать, но ничего лучшего в голову о законе отражения пока не пришло.

[morek]

Предположим, что отражение всё-таки инвертирует некоторые координаты. Где-то в Интернете нашёл, что квадрат матрицы отражения равен единичной матрице.

У нас в задаче двумерное подпространство отражается параллельно одномерному. Тогда должно быть в обычном базисе $\left(e_{1},e_{2},e_{3}\right)$
это будет:$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Если так, то дальше легко можно перейти от этого базиса, к тому, что указан в задаче.
Т.к. $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{2} = $I$, то такая матрица будет сама себе же и обратной.
А значит матрицу отражения в новом базисе мы можем получить так:
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} = $\begin{pmatrix} -2 & -3 & 1\\ -1 & -2 & 2\\ -3 & -4 & 1 \end{pmatrix}
Прошу подскажите, правильно ли я мыслю решение данной задачи или нет?

[ИСН]

Наверное, но надо-то без матриц. Словами. Вектор такой-то минус его проекция туда-то плюс то-то. В таком вот духе.

[INGELRII]

morek
Давайте забудем на время о существовании в этом мире матриц. Вот у нас есть плоскость, она же по совместительству зеркало. Вот у нас вектор $a$. Для простоты считаем, что его начало лежит в начале координат. И плоскость зеркала тоже проходит через начало координат. И еще у нас вектор $b$, который есть отражение $a$ (относительно зеркала).

Возьмем и нарисуем еще пару векторов: $a_1$, который есть проекция $a$ на плоскость зеркала; и $b_1$, который проекция $b$ на - угадайте - правильно, на плоскость зеркала.

Вопрос: что вы можете сказать о двух векторах: $a_1$ и $b_1$?