Линейное уравнение первого порядка

[Len]

Написано,что Мы нашли общее решение однородного уранения. Теперь переходим к решению неоднородного. Там надо какую-то С2 заменить на С(X)! А что это за С2 и чему равна С(x)! Ну помогите уж, ПОЖАЛУЙСТА!!!

[RIP]

$C_2$-константа из п.(б).
В Вашем случае общее решение однородного уравнения $x=C_2\ctg y.$ Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, ищите его в виде $x=c(y)\ctg y$, где c(y)-неизвестная функция, которую надо найти.

[Someone]

Len писал(а):

Написано,что Мы нашли общее решение однородного уранения. Теперь переходим к решению неоднородного. Там надо какую-то С2 заменить на С(X)! А что это за С2 и чему равна С(x)! Ну помогите уж, ПОЖАЛУЙСТА!!! :cry:

Ну там же в пунктах в), г), е) написано, что делать и что в результате получится.

Но мне больше нравится метод, использующий для решения линейного уравнения $y'+p(x)y=q(x)$ (и уравнения Бернулли $y'+p(x)y=q(x)y^{\alpha}$) подстановку Бернулли $y=uv$, где $u$ и $v$ - две новые неизвестные функции. Так как $y'=u'v+uv'$, после подстановки в уравнение получается $u'v+u(v'+p(x)v)=q(x)$. Выбираем функцию $v\neq 0$ так, чтобы выражение в скобках равнялось $0$. В результате получается система уравнений

$$\begin{cases}v'+p(x)v=0\text{,}\\u'v=q(x)\text{.}\end{cases}$$

Первое уравнение Вы уже решили, надо только написать, чему равна функция $v$, причём, произвольная постоянная не нужна, так как нам достаточно найти одну функцию $v\neq 0$. Теперь нужно подставить это $v$ во второе уравнение и найти $u$.

[Len]

Someone,Вы могли бы показать все это на моем примере! Просто скажите да или нет! А то у меня все-равно не получится!

[Someone]

Len писал(а):

Someone,Вы могли бы показать все это на моем примере! Просто скажите да или нет! А то у меня все-равно не получится! :cry:

А Вы попробуйте. С пунктами а) и б) Вы, в общем-то, справились. Почему бы не справиться и с пунктом е)? А если немного ошибётесь, кто-нибудь поправит.

[Someone]

Ну, я вижу, Вас совсем заклинило. На достаточно ровном месте.

$$\frac{dx}{dy}+\frac{2}{\sin2y}x=\frac{2\cos^2y\cos2y}{\sin2y}$$

,

$$y\left(-\frac 32\right)=\frac{\pi}4$$

.

Как я уже писал, подставляем $x=uv$, где $u$ и $v$ - две новые неизвестные функции. Тогда $\frac{dx}{dy}=\frac{du}{dy}v+u\frac{dv}{dy}$, и получаем уравнение

$$\frac{du}{dy}v+u\frac{dv}{dy}+\frac{2}{\sin2y}uv=\frac{2\cos^2y\cos2y}{\sin2y}$$

.
Группируя в левой части второй и третий члены и вынося $u$ за скобки, получим

$$\frac{du}{dy}v+u\left(\frac{dv}{dy}+\frac{2}{\sin2y}v\right)=\frac{2\cos^2y\cos2y}{\sin2y}$$

.
Для двух неизвестных функций имеем одно уравнение, поэтому одну из функций можно выбрать произвольно. Подберём функцию $v\neq 0$ так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Тогда получим систему уравнений

$$\begin{cases}\frac{dv}{dy}+\frac{2}{\sin2y}v=0\text{,}\\ \frac{du}{dy}v=\frac{2\cos^2y\cos2y}{\sin2y}\end{cases}\text{.}$$

Интегрирование первого уравнения, как мы уже знаем, даёт $\ln|v|=-\ln|\tg y|+C_1$. Нам нужна только одна функция $v$, поэтому произвольную постоянную возьмём равной $0$, тогда $\ln|v|=-\ln|\tg y|$, откуда $v=\frac 1{\tg y}$. Подставляем эту функцию во второе уравнение:

$$\frac{du}{dy}\frac 1{\tg y}=\frac{2\cos^2y\cos2y}{\sin2y}$$

,
откуда

$$\frac{du}{dy}=\frac{2\tg y\cos^2y\cos2y}{\sin2y}$$

,
или, после упрощений с использованием тригонометрических формул $\tg y=\frac{\sin y}{\cos y}$ и $\sin 2y=2\sin y\cos y$,

$$\frac{du}{dv}=\cos 2y$$

,
откуда $u=\int\cos 2ydy=\frac 12\sin 2y+C$.
Теперь находим $x=uv=\frac{\frac 12\sin 2y+C}{\tg y}=\cos^2y+C\ctg y$.
Осталось подставить начальные значения: $x=-\frac 32$, $y=\frac{\pi}4$. Это даёт $-\frac 32=\left(\frac 1{\sqrt{2}}\right)^2+C$, откуда $C=-2$. Окончательно получаем $x=\cos^2y-2\ctg y$, как и писал V.V..

[незваный гость]

Someone писал(а):

Нам нужна только одна функция $v$, поэтому произвольную постоянную возьмём равной $0$, тогда $\ln|v|=-\ln|\tg y|$, откуда $v=\frac 1{\tg y}$

Тут чуть-чуть неточно. Формально, $\ln|v|=-\ln|\tg y| + C_1$, следовательно, $|v| = {\rm e}^{C_1} |\ctg y|$, или, снимая модули $v = \left(\pm {\rm e}^{C_1}\right) \ctg y$. Вот это выражение в скобках мы и обозначали $C_2$, $v = C_2 \ctg y$. А теперь, поскольку мы ищем одну из функций, мы можем оложить $C_2 = 1$

Someone, я Вас не поправляю. Более подробно разъясняю для Len.

[Someone]

незваный гость, Вы, конечно, правы. Я мог бы написать $v=\pm\frac 1{\tg y}$ и, повторно сославшись на то, что нужна одна функция, из двух знаков оставить один.