Предел, неопределенность 0/0

[Женисбек]

Прошу помочь вычислить предел

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}-\frac{1}{\tg x}\right)$

Пробовал применить правило Лопиталя, но получил опять 0/0.

[ewert]

$$=\frac{\sin x(e^x+e^{-x})-\cos x(e^x-e^{-x})}{x\,(e^x-e^{-x})\sin x}.$$

Знаменатель вполне честно экивалентен $2x^3$, ну а числитель... Можно без особого труда и полопиталить; однако надёжнее по формуле Тейлора, учитывая в числителе лишь члены до 3-го порядка включительно.

-- Чт окт 20, 2011 10:35:23 --

Нет, лучше всё-таки лопитальнуть -- там уже после первого раза числитель вполне очевидным образом заменится на эквивалентное.