Max. value

[man111]

If $a,b,c\in\mathbb{R^{+}}\;,a+b+c=6$ Then Minimum value of

$\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2$

edited..

[Хорхе]

Did you mean minimum value? Because we can take $a\approx 0$ and make this expression very large.

[man111]

yes Min.value

[MrDindows]

1) $2 \left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \right) \ge 6$

2) $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \le \frac{9}{a+b+c}=\frac96$

$\displaystyle \sum_{cyc} a^2-2+\frac{1}{a^2}= \sum_{cyc} \left(a-\frac{1}{a}\right)^2\ge \frac{\left(a+b+c-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)^2}{3} \ge \frac{27}{4} $



3) $\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{27}{4}-6+6=\frac{27}{4}$

UPD.
После поста arqady заметил у себя небольшую ошибочку.
В последней строке должно быть так:
$\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{27}{4}+6+6=\frac{75}{4}$

[arqady]

man111 в сообщении #493459 писал(а):

If $a,b,c\in\mathbb{R^{+}}\;,a+b+c=6$ Then Minimum value of

$\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2$

edited..

$\sum\limits_{cyc}\left(a+\frac{1}{b}\right)^2-\frac{75}{4}\geq\sum\limits_{cyc}\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+6-\frac{75}{4}=\sum\limits_{cyc}\left(a^2+\frac{1}{a^2}-\frac{17}{4}-\frac{15}{4}(a-2)\right)=$
$=\sum\limits_{cyc}\frac{(a-2)^2(4a^2+a+1)}{4a^2}\geq0$.
Вот так проще:
$\sum\limits_{cyc}\left(a+\frac{1}{b}\right)^2\geq\frac{1}{3}\left(\sum\limits_{cyc}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right)^2\geq\frac{75}{4}$.

[man111]

Thanks MrDindows and arqady