Отображение множества

[xmaister]

Пусть заданы множества $X$ и $Y$ и отображение $f$ множества $X$ в множество $Y$.
Рассматриваю $y\in ff^{-1}(W)$, $W\subset Y$. Имеем:
$y\in ff^{-1}(W)\Leftrightarrow y\in Y\wedge\left(\exists x:x\in f^{-1}(W)\wedge f(x)=y\right)\Leftrightarrow$
$y\in Y\wedge\left(\exists x:x\in X\wedge f(x)\in W\wedge f(x)=y\right)\Leftrightarrow$
$y\in Y\wedge\exists x:x\in X\wedge\exists x: f(x)\in W\wedge\exists x: f(x)=y\Leftrightarrow$
$y\in f(X)\wedge\exists x:x\in X\wedge\exists x: f(x)\in W\wedge\exists x: f(x)=y\Leftrightarrow$
$y\in f(X)\wedge y\in W$, т.е. $ff^{-1}(W)= W\cap f(X)$, мне кажется, что я допускаю логическую ошибку в последнем $\Leftrightarrow $. Как её исправить?

[xmaister]

Нашёл ошибку, $\Leftrightarrow$ везде надо заменить на $\Rightarrow$. Но тогда я получу вложение, а не равенство

[xmaister]

Всё, разобрался.