Обобщенная формула в maple

[blacktiger]

Здравствуйте. Такая ситуация: пытаюсь написать алгоритм вывода элементарных симметрических многочленов по заданному количеству переменных в maple... Для n переменных формула выглядит так: S_k=\sum_{1\leq i_1<i_2<..<i_k \leq n} x_{i_1}\cdot x_{i_2}\cdot \ldots \cdot x_{i_k}. Проблема в том, как это записать, чтобы было понятно maple... Если писать вручную для каждого S_k, например, до n\leq 5, выходит нечто типа:

S[1] := sum(x[q], q = 1 .. n); 
for s from 2 to n do 
  S[s] := 0 
end do; 

for i[1] from 1 to n do 
  for i[2] from 1 to n do 
   if i[1] < i[2] then 
    S[2] := S[2]+x[i[1]]*x[i[2]] 
   end if 
  end do 
end do; 

for i[1] from 1 to n do 
  for i[2] from 1 to n do 
   for i[3] from 1 to n do 
    if i[1] < i[2] and i[2] < i[3] then 
     S[3] := S[3]+x[i[1]]*x[i[2]]*x[i[3]] 
    end if 
   end do 
  end do 
end do; 

for i[1] from 1 to n do 
  for i[2] from 1 to n do 
   for i[3] from 1 to n do 
    for i[4] from 1 to n do 
     if i[1] < i[2] and i[2] < i[3] and i[3] < i[4] then 
      S[4] := S[4]+x[i[1]]*x[i[2]]*x[i[3]]*x[i[4]] 
     end if 
    end do 
   end do 
  end do 
end do; 

for i[1] from 1 to n do 
  for i[2] from 1 to n do 
   for i[3] from 1 to n do 
    for i[4] from 1 to n do 
     for i[5] from 1 to n do 
      if i[1] < i[2] and i[2] < i[3] and i[3] < i[4] and i[4] < i[5] then 
       S[5] :=S[5]+x[i[1]]*x[i[2]]*x[i[3]]*x[i[4]]*x[i[5]] 
      end if 
     end do 
    end do 
   end do 
  end do 
end do:

Но вот как это обобщить в одну формулу для любого n не знаю Может кто-нибудь сможет помочь, пожалуйста?

[Leox]

Симметрические многочлены удобнее находить как коеффициенты при $X$ многочлена $(X-x_1)(X-x_2) \cdots (X-x_n).$ Соответсвующую Maplе-процедуру можно реализовать например так

S:=(n,m)->(-1)^(n-m+1)*simplify(coeff(product(X-x[i],i=1..n),X,(n-m)));

Тогда получим

$S(4,2)=x_{{1}}x_{{2}}+x_{{1}}x_{{3}}+x_{{2}}x_{{3}}+x_{{1}}x_{{4}}+x_{{2}}x_{{4}}+x_{{3}}x_{{4}}.$

$S(5,1)=x_{{5}}+x_{{4}}+x_{{3}}+x_{{2}}+x_{{1}}$

[blacktiger]

Leox
Эх...совсем не подумал об этом...спасибо!!!
Однако для S(4,4), например, считает с отрицательными знаками...Вы немного ошиблись в формуле:
(-1)^(2*n-m)
Но всё равно спасибо за подсказку

[blacktiger]

вернее там просто $m$ достаточно)