выяснить сходимость или расходимость ряда.

[sandrachka]

здравствуйте, многоуважаемые!
дан следующий ряд:
$a_n=(n+(-1^n))/\ln(n)$
так как выражение $(-1^n)$ никуда не стремится можно записать что
$(n-(-1^n))/\ln(n)\leqslant (n-1)/\ln(n)$
распишем данный ряд "в живую" получим:
$1/\ln2+2/\ln3+3/\ln4+4/\ln5+...$
нужно доказать что сумма этих слагаемых не стремится к нулю, тогда этот ряд расходится.
$a_n\leqslant (n-1)/\ln(n)$
однако... куда стремится $(n-1)/\ln(n)$?
в лекции было почему-то сказано что $(n-1)$ это степенная функция. если это так то никаких проблем с решением не возникает, но я не могу понять почему это так.

[xmaister]

sandrachka в сообщении #492876 писал(а):

дан следующий ряд:

Может $\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_n$? Ну тогда он расходится, необходимое условие.

[ИСН]

Чёрный - это цвет. И белый - это цвет. Я продал тебе цветной телевизор. Первая степень - это тоже степень.

[alcoholist]

ИСН в сообщении #492921 писал(а):

Первая степень - это тоже степень.

а нулевая... вроде выражения "многочлен степени ноль -- константа"?

[ИСН]

Тут уже надо смотреть. Если степень - это у кого надо степень, то одно дело, а...

[gris]

sandrachka, если Вы серьёзно, то я бы посоветовал получше разобраться в теории, так как у Вас немножко как бы невпопад вставлены кусочки теорем, признаков, и создаётся ложное впечатление, что Вы чуть-чуть далеки от рядов.

Например, неравенство "не больше" бесполезно для доказательства расходимости знакоположительного ряда. Тут подойдёт "не меньше" с изменением знака у единички.

Далее неверно сформулирован "достаточный признак расходимости" (равносильный "необходимому признаку сходимости"). Не сумма слагаемых, а общий член должны не стремиться (или стремиться) к нулю.

Опять же и про степенную функцию. Почему-то обычно затверживают фразу "логарифм растёт медленнее любой степенной функции" и употребляют её в любом похожем случае.

В общем, немного поаккуратнее и всё будет замечательно.

Ну а

[sandrachka]

спасибо за советы, в частности в последнем сообщении!
если я правильно вас поняла со степенной функцией, то даже $n$ в первой степени это уже степенная функция?

[gris]

Имеется в виду следующее полезное свойство:

$$ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac {x^{a>0}}{\ln x}=\infty$$

со всеми допустимыми обобщениями, обращениями и вариациями.
Логарифм рано или поздно становится катастрофически меньше любой степенной функции, с показателем, большим нуля. То есть даже меньше корня миллионной степени.