КМ. Операторы рождения, уничтожения.

[r0ma]

Здравствуйте.
Что-то не могу показать почему

$$\hat{a}^{+}\psi_n=\sqrt{n+1}\ \psi_{n+1}$$

Не подскажете как? В ландафшице сказано (в III томе), что это по определению. Но меня что-то это никак не устраивает. Вообще этот вопрос у меня возник, когда я вспомнил про осциллятор. Когда его изучал, так и не понял этого.

UPD: вопрос именно в коэффициенте. То, что

$$\hat{a}^{+}\psi_n \sim \psi_{n+1}$$

я понимаю.

[espe]

Используйте условие нормировки $\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{nm}$.

[r0ma]

Пусть $\hat{a}^+|n\rangle=\alpha|n+1\rangle$ Домножу на бра $n+1$, получу что-то вроде этого: $\langle n+1|\hat{a}^+|n\rangle=\alpha\delta_{n+1,\, n+1}$. Тем самым я показал, что все матричные элементы оператора $\hat{a}^+$ равны нулю, кроме тех, что лежат сразу под диагональю (и равны эти элементы $\alpha$). А как отсюда извлечь информацию о величине $\alpha$?

[espe]

Имеем, по определению, $a|0\rangle=0$, $\langle0|0\rangle=1$. (шляпки над операторами не пишу)
Состояние $|n\rangle=C_n (a^+)^n|0\rangle$, $C_n$ --- константа нормировки. Из условия нормировки находим $C_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}$. Далее $a^+|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^+)^{n+1}|0\rangle=\sqrt{(n+1)}\frac{1}{\sqrt{(n+1)!}}(a^+)^{n+1}|0\rangle=\sqrt{(n+1)}|n+1\rangle$

[r0ma]

А как Вы так отнормировали, что $C_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}$?

Вот как делал я (по сути то же самое, что и Вы): $(a^+)^n|0\rangle=C_n|n\rangle$. Тогда $\langle n|(a^+)^n|0\rangle=C_n$. Или $\langle0|(a a^+)^n|0\rangle={C_n}^2$. И я не понимаю как отсюда получить вот это $C_n$, которое Вы получили?

Вы извините, если вопросы совсем глупые, просто мне понять надо до конца.

[espe]

r0ma в сообщении #492769 писал(а):

А как Вы так отнормировали, что $C_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}$?

Вот как делал я (по сути то же самое, что и Вы): $(a^+)^n|0\rangle=C_n|n\rangle$. Тогда $\langle n|(a^+)^n|0\rangle=C_n$. Или $\langle0|(a a^+)^n|0\rangle={C_n}^2$. И я не понимаю как отсюда получить вот это $C_n$, которое Вы получили?

На всякий случай договоримся об обозначениях. У меня было $|\psi_n\rangle=|n\rangle$ и они совпадают с Вашими. Моё $C_n$ не равно Вашему $C_n$. И условие нормировки в наших обозначениях $\langle n|m\rangle=\delta_{nm}$.

Теперь рассмотрим Ваше выражение $\langle n|(a^+)^n|0\rangle=C_n$ или $\langle 0|(a)^n(a^+)^n|0\rangle=C_n^2$, а не то что у Вас написано. Далее коммутируете операторы уничтожения направо пока они не подействуют на $|0\rangle$. Напоминаю, что $a|0\rangle=0$. В результате получите ${n!}=C_n^2$. И получаем, что Ваше $C_n=\sqrt{n!}$.

Чтобы легче было считать лучше сначала показать, что $a\,(a^+)^n|0\rangle=n\,(a^+)^{n-1}|0\rangle$, используя коммутационное соотношение $a\,a^+-a^+a=1$.

[r0ma]

А-а. Дошло, кажется.

По поводу обозначений. Тут $(aa^+)^n$, конечно, сглупил. На счёт $C_n$, мне надо было штрих какой-нибудь поставить. Не стал этого делать, считая очевидным. По сути, я, конечно, не прав. Хотя бы оговорить надо было. Ну ладно.

Теперь по сути.

espe в сообщении #492778 писал(а):

...показать, что $a\,(a^+)^n|0\rangle=n\,(a^+)^{n-1}|0\rangle$... .

$$\,(a^+)^n|0\rangle=aa^+\, (a^+)^{n-1}|0\rangle=\left(1+a^+a\right)(a^+)^{n-1}|0\rangle=$$ $$=(a^+)^{n-1}|0\rangle+a^+\,aa^+\,(a^+)^{n-2}|0\rangle=(a^+0)^{n-1}+a^+\left(1+a^+a\right)(a^+)^{n-2}|0\rangle=$$ $$=2(a^+)^{n-1}|0\rangle+(a^+)^2\, a(a^+)^{n-2}|0\rangle=\ldots=n(a^+)^{n-1}|0\rangle+(a^+)^n\, a|0\rangle=n(a^+)^{n-1}|0\rangle.$$

Как-то так. Далее так:

$$(a)^n(a^+)^n|0\rangle=a^{n-1}\left[ a(a^+)^{n}|0\rangle\right]=a^{n-1}\left[ n(a^+)^{n-1}|0\rangle\right]=$$ $$=na^{n-2}\left[ a(a^+)^{n-1}|0\rangle}\right]=n(n-1)a^{n-2}(a^+)^{n-2}|0\rangle=\ldots=n(n-1)\ldots(n-n+1)aa^+|0\rangle=$$ $$=n!\left(1+a^+a\right)|0\rangle=n!|0\rangle$$

В итоге, $n!\langle 0|0\rangle={C_n}^2\Rightarrow C_n=\sqrt{n!}$

Вроде всё так, да? Ну Ваше $C_n$ это моё в -1-ой степени.

Ну и дальше я вроде тоже получил:

$$a^+|n\rangle=\frac{1}{n!}(a^+)^{n+1}|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\,\sqrt{n!\,(n+1)}\,|n+1\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$$

Как я понимаю, для оператора уничтожения всё абсолютно аналогично?

[espe]

r0ma в сообщении #492797 писал(а):

Вроде всё так, да?
Как я понимаю, для оператора уничтожения всё абсолютно аналогично?

Да (с точностью до опечаток)

[r0ma]

espe, большое Вам спасибо!

[r0ma]

А, вот ещё вопрос возник. Как физически интерпретировать оператор рождения для осциллятора? Правильно ли я понимаю, что когда наш осциллятор переходит на новый энергетический уровень, например, с $\varepsilon_{0}=\frac12\rightarrow\varepsilon_{1}=\frac32$, то это сопровождается выделением фонона (например в кристаллической решётке) с энергией $\varepsilon=1$. Я прав?

[Alex-Yu]

r0ma в сообщении #492905 писал(а):

А, вот ещё вопрос возник. Как физически интерпретировать оператор рождения для осциллятора? Правильно ли я понимаю, что когда наш осциллятор переходит на новый энергетический уровень, например, с , то это сопровождается выделением фонона (например в кристаллической решётке) с энергией . Я прав?

При чем тут фонон (он, кстати, тоже осциллятор)? Чтобы был физический переход нужно внешнее воздействие (уж какой природы - другой вопрос). Часто гамильтониан этого внешнего воздействия пропорционален оператору координаты т.е. (с точностью до множителя) $a^++a$ ну а далее, надеюсь, все понятно.

[r0ma]

Ну я как пример привел кристаллическую решётку, в узлах которой колеблются атомы (это есть осцилляторы). И мне показалось, что когда этот наш 1 какой-то атом переходит в состояние с более низкой энергией, например, с 3/2 на уровень 1/2, то выделяется фонон с энергией 1 (обратный переход соответствует поглощению фонона). Просто мне так показалось. Такое представление верное? Или нет?

Ну а если есть один осциллятор, просто один. Пусть он находится в состояние с энергией 3/2. И мы действуем оператором уничтожения. То тогда он перейдёт в состояние с энергий 1/2. Энергия куда-то делась? Это зависит как раз от внешнего воздействия?

Я просто к чему. В статистике эти операторы интерпретируют так, что $a^+$ добавляет в систему 1 частицу, а другой наоборот убирает 1 частицу. Мне бы просто хотелось понять, что на примере 1-го осциллятора (например 1 колеблющийся атом) эти операторы физически означают.

[espe]

r0ma в сообщении #492914 писал(а):

когда ... переходит в состояние с более низкой энергией, например, с 3/2 на уровень 1/2, то выделяется фонон с энергией 1 (обратный переход соответствует поглощению фонона). Просто мне так показалось. Такое представление верное? Или нет?

Верное. (если операторы рождения и уничтожения у Вас это операторы рождения и уничтожения фононов)

[r0ma]

espe в сообщении #492937 писал(а):

Верное. (если операторы рождения и уничтожения у Вас это операторы рождения и уничтожения фононов)

Alex-Yu в сообщении #492909 писал(а):

При чем тут фонон (он, кстати, тоже осциллятор)? Чтобы был физический переход нужно внешнее воздействие (уж какой природы - другой вопрос). Часто гамильтониан этого внешнего воздействия пропорционален оператору координаты т.е. (с точностью до множителя) $a^++a$ ну а далее, надеюсь, все понятно.

Ага. Теперь я понял что я тут не понимаю.То есть эти операторы могут иметь разную природу, так? В случае кристаллической решётки - это операторы рождения/уничтожения фононов (это так, если мы как-то воздействуем на решётку), а в любом другом случае - они любой другой природы могут быть, так? Ну вот например, пусть затронутое Alex-Yu внешнее воздействие есть электромагнитная волна. То есть ЭМ волной мы освещаем допустим какую-то рабочую среду (типа как лазер). Тогда в куске гамильтониана будет такой член: $\hat{U}=-eE\hat{x}$, где E - внешнее поле, e - заряд электрона по модулю. Тогда через эти операторы будет примерно следующее: $\hat{U}\sim E\left(\hat{a}^++\hat{a}\right)$. И в данном случае они будут операторами рожд./уничт. фотонов? Так понимаю? Или как тут правильно-то?

[Alex-Yu]

r0ma в сообщении #492956 писал(а):

Ага. Теперь я понял что я тут не понимаю.То есть эти операторы могут иметь разную природу, так?

Естественно. Осциллятор - это много чего. Фононная мода (нормальное колебание решетки) - осциллятор. Соотвественно получатся операторы рождения и уничтожения фононов. Если электромагнитное поле разложить на плоские волны и проквантовать - получатся операторы рождения и уничтожения фотонов и т.д.

-- Вс окт 16, 2011 06:30:04 --

r0ma в сообщении #492956 писал(а):

То есть ЭМ волной мы освещаем допустим какую-то рабочую среду (типа как лазер). Тогда в куске гамильтониана будет такой член: , где E - внешнее поле, e - заряд электрона по модулю. Тогда через эти операторы будет примерно следующее: . И в данном случае они будут операторами рожд./уничт. фотонов? Так понимаю? Или как тут правильно-то?

Нет. Это будут операторы рождения и уничтожения колебаний среды, возбуждаемой лазерным лучем. В буквальном смысле, прада, это плохой пример: нет таких сред, в которых существовали бы колебания световой частоты (в видимом лиапазоне). Но если лазер далнего ИК, например $CO_2$ с линой волны в 10,6 мкм, то тогда может и можно найти такие колебания в веществе (надо справочники смотреть). В общем-то высоковата частота для колебаний. Где-то 1000 $cm^{-1}$ (есть такая единица измерения частоты, принятая в спектроскопии). Обычно сотни максимум, но может в каком-нибудь экзотическом веществе и 1000 можно найти.

Но если чисто теоретически (а потом и более низкочастные лазеры бывают) то все нормально: устраиваете нестационарную теорию возмущений по взаимодействию с электромагнитным полем и запросто находите вероятности переходов (возбуждений колебаний)под действием этого поля. Впрочем, возбуждение осциллятора внешней классической (!) силой решается точно, без теории возмущений. Но для этого надо разобраться с когеррентными (глауберговскими) состояниями, которые, кстати, являются собственными состояниями оператора уничтожения. Но не все сразу