Вывести формулу движения

[newnon]

есть некоторое тело которое движется по траектории описываемой кривой заданной параметрически

$ \begin{cases} x(t)=ax\cdot t^2+bx\cdot t\\ y(t)=ay\cdot t^2+by\cdot t \end{cases} $

известны 2 координаты через которые прошло тело, скорости его в этих точках и время
$P1(0) =(0,0)$ v1
$P2(t) = (x,y)$ v2
необходимо вывести уравнение движения(рассчитать коэффициенты ax ay bx by)
первые 2 уравнения системы очевидны:

$ \begin{cases} x=ax\cdot t^2+bx\cdot t\\ y=ay\cdot t^2+by\cdot t\\ v1=\\ v2=\\ \end{cases} $
а вот как сюда притянуть скорости пока не понятно

[svv]

$v(t) = \sqrt {v_x^2(t)+v_y^2(t)}$

[_hum_]

newnon
А как вообще связаны скорости с траекторией движения тела? Кинематику в школе уже прошли?

[newnon]

этот вариант я рассматривал

$ \begin{cases} x=ax\cdot t^2+bx\cdot t\\ y=ay\cdot t^2+by\cdot t\\ v1=\sqrt{bx^2+by^2}\\ v2=\sqrt{(2ax\cdot t+ bx)^2+(2ay\cdot t+ by)^2} \end{cases} $

к сожаления ни я ни MathCad это решить в аналитической форме не в состоянии
Задача не из школьного курса. Это нужно предсказания движения автомобиля по некоторым неполным данным

При большом желание я могу получить курс (отклонение направления движения в конечной точке от направления на север(от 0 до 360 градусов))

[svv]

Возведите уравнения для скоростей в квадрат. Во втором (для $v_2$) раскройте скобки, там всё можно значительно упростить -- избавиться от $b_x$ и $b_y$.

-- Пт окт 14, 2011 23:16:05 --

После возведения в квадрат, раскрытия скобок и собирания вместе того, что напрашивается -- как выглядит Ваше последнее уравнение?

Два замечания по обозначениям:
Лучше писать $a_x$, $a_y$, $b_x$, $b_y$.
Лучше не обозначать одинаково константы и переменные (функции $t$). Вторую точку обозначим $C$, она имеет координаты $(x_C, y_C)$, тело проходит её в момент $t_C$:
$x_C=x(t_C), y_C=y(t_C)$.

[newnon]

$bx=\frac{x-ax\cdot t^2}t$
$bx=x/t-ax\cdot t$
$by=\frac{y-ay\cdot t^2}t$
$by=y/t-ay\cdot t$

$v1^2=bx^2+by^2$
$v2^2=(2ax\cdot t+ bx)^2+(2ay\cdot t+ by)^2$

если все это подставить и упростить

$v2^2=ax^2t^2+2x\cdot ax+ay^2t^2+2y\cdot ay+x^2/t^2+y^2/t^2$

и все равно не легче

а нельзя ли как нибудь из v1 найти v1x и v1y ?

В принципе курс в точке P2 это угол между касательной и осью Oy

-- 15.10.2011, 00:55 --

ну или считать какими-нибудь численными методами но это не желательно так как создаст дополнительную нагрузку

[svv]

$v_2^2=(2a_x t+b_x)^2+(2a_y t+b_y)^2 =$
$= 4a_x^2 t^2+4a_x b_x t + b_x^2 + 4a_y^2 t^2+4a_y b_y t + b_y^2 =$
$= 4a_x (a_x t^2+b_x t) + 4a_y(a_y t^2+b_y t)+(b_x^2+b_y^2) $
А теперь каждую скобку можно заменить на нечто весьма простое и известное.

[newnon]

огромное спасибо (интересно а маткад почему до этого не догадался?)

[svv]

Подождем лет 20, и они (мат.пакеты) научатся.
newnon, Вы можете показать, во что у Вас превратилось последнее уравнение? (чтоб я лег спать спокойно)
Только перенесите в нем $v_1^2$ и $v_2^2$ в правую часть, а всё остальное в левую, и разделите всё на 4.

[newnon]

$ \begin{cases} x_1=a_xt^2+b_xt\\ y_1=a_yt^2+b_yt\\ v_1^2=b_x^2+b_y^2\\ v_2^2=4a_x (a_x t^2+b_x t) + 4a_y(a_y t^2+b_y t)+(b_x^2+b_y^2) \end{cases} $

отсюда

$ \begin{cases} x_1=a_xt^2+b_xt\\ y_1=a_yt^2+b_yt\\ v_1^2=b_x^2+b_y^2\\ (v_2^2-v_1^2)/4=a_x\cdot x_1 + a_y\cdot y_1 \end{cases} $

и все равно я не могу решить данную систему(Mathcad тоже)
мне кажется что даже если решение существует то оно крайне громоздко
может все-таки лучше через курс?

[svv]

Выразите из первого уравнения $a_x$ и подставьте в четвертое.
Выразите из второго уравнения $a_y$ и подставьте в четвертое.
Уравнение, которое получилось таким образом из четвертого, назовем 4'.

Теперь рассматриваем систему из двух уравнений: 3 и 4' для двух неизвестных: $b_x$ и $b_y$.
Уравнение 3 квадратичное, 4' линейное. Это уже легче. (Может быть, на этом этапе Mathcad уже скажет что-то полезное?)

Допустим, Mathcad продолжает смотреть на Вас бессмысленным взглядом. Тогда Вы из 4' выражаете $b_x$, благо оно линейное. Назовем полученное уравнение 4". И подставляете $b_x$ в 3. Получаете квадратное уравнение относительно $b_y$ и находите два его решения. Подставляя их в 4", найдете и $b_x$.

И так далее.

Кстати, в Вашей задаче существует принципиальная причина того, что решений два (в систему входят неизвестные во второй степени). Что нам дано? Начальная точка, конечная точка, моменты времени, абсолютные значения скорости. Так вот, эти данные не позволяют отличить ситуацию, когда машина движется по дуге влево, от зеркально симметричной ситуации (относительно линии, соединяющей две данные точки), когда машина проходит через те же точки в те же моменты времени с теми же по модулю скоростями, но поворачивает вправо.

Успехов.

P.S. Немного смутили Ваши обозначения $x_1$ и $y_1$ -- Вы не забудете, что это координаты второй точки, в которой скорость равна $v_2$?

[newnon]

я ровно это и сделал. да маткад смог решить такую систему но во первых я получил 2 корня а во вторых они получились очень огромными. вот поэтому я и задумался о возможности посчитать систему в виде
$\begin{cases} x_1=a_xt^2+b_xt\\ y_1=a_yt^2+b_yt\\ v_x=a_xt+b_x\\ v_y=a_yt+b_y \end{cases}$

$v_x=v_2\cos(90-\varphi)$
$v_x=v_2\sin(90-\varphi)$

где $\varphi$ как раз угол межну направлением на север и вектором движения, но когда я создал модель уже непосредственно на компьютере моя модель движется в целом правильно но не в ту сторону, в чем я ошибся?

[svv]

newnon писал(а):

маткад смог решить такую систему но во первых я получил 2 корня

Я выше написал, почему корней должно быть два:

svv писал(а):

Кстати, в Вашей задаче существует принципиальная причина того, что решений два (в систему входят неизвестные во второй степени). Что нам дано? Начальная точка, конечная точка, моменты времени, абсолютные значения скорости. Так вот, эти данные не позволяют отличить ситуацию, когда машина движется по дуге влево, от зеркально симметричной ситуации (относительно линии, соединяющей две данные точки), когда машина проходит через те же точки в те же моменты времени с теми же по модулю скоростями, но поворачивает вправо.

Странно было бы, если бы корень был один.

newnon писал(а):

а во вторых они получились очень огромными

Чему равны у Вас значения всех известных величин ($x_1$, $y_1$, $t$, $v_1$, $v_2$) и оба найденных корня для $b_x$ и $b_y$? Я проверю своим способом.

[newnon]

x1 y1 t v1 v2 все это получается динамически как таковых данных у меня нету но у меня есть софт который позволяет моделировать все это в реальном времени
А особенности съема данных таковы что самым точным измерением является скорость, потом координаты, далее курс
в настоящий момент я использую модель по 3-м точкам но к сожалению 3-я точка не всегда адекватна мне нужна модель именно по 2-м точкам

[svv]

Тогда сделайте следующее.
Выберите какие-нибудь правдоподобные значения $a_x$, $a_y$, $b_x$, $b_y$, а также $t$. Значения не должны быть "красивыми", пусть будет что-то вроде $2.9383$, $10.0538$, $3.8024$ и т.д.
Подсчитайте на основе этих величин по "прямым" формулам $x_1$, $y_1$, $v_1$ и $v_2$.
Затем примените описанный метод и найдите $b_x$ и $b_y$ (для начала). Один из найденных корней $b_x$ должен совпадать с заданным значением $b_x$. Второй корень не должен совпадать. Аналогично для $b_y$.

Если ни один не совпадает -- где-то ошибка, будем разбираться. Если один из корней совпал, очень хорошо.

newnon, Вы хорошо поняли, почему для каждой из величин корней должно быть два?