Док.-во достаточного условия минимума функции

[Kreig]

Здравствуйте. Есть функция $E(x_1; x_2; ...; x_n; y_1; y_2; ...; y_n)=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \sum\limits_{j=i+1}^n \frac12 k_{ij} \left\{ \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2} - l_{ij} \right\}^2$, где $k_{ij}$ и $l_{ij}$ - положительные константы, $x_i$ и $y_i$ - координаты на плоскости. Вопрос: можно ли доказать, что для этой функции необходимое условие экстремума является так же достаточным условием минимума?

[mihiv]

В выражение для функции координаты точек входят только в виде разностей,поэтому координаты одной из точек можно выбрать произвольно,например,положить $x_1=y_1=0.$

[Хорхе]

Нет, не обязательно. Если $n=3$, $l_{ij}=k_{ij}=1$, то три точки -- концы единичного отрезка и его середина -- задают седло: если двигать среднюю точку вдоль отрезка, этот квадратичный агрегат увеличивается, если перпендикулярно к отрезку -- уменьшается.

[Kreig]

Хорхе, а локальных максимумом нет? Дело в том, что требуется минимизировать функцию $E(x_1; x_2; ...; x_n; y_1; y_2; ...; y_n)$, минимизацию предлагается проводить через итеративное закрепление всех точек, кроме $x_m$ и $y_m$ и минимизацию функций $E_m(x_m; y_m)$. Точки $x_m$ и $y_m$ выбираются по максимуму $|\nabla{E_m(x_m; y_m)}|$. Минимизация функций $E_m(x_m; y_m)$ происходит через подбор таких точек $x_m$ и $y_m$, при которых выполняется необходимое условие экстремума. При таком процессе на практике находится локальный минимум функции $E(x_1; x_2; ...; x_n; y_1; y_2; ...; y_n)$. Не могу понять почему, ведь при рассмотрении только необходимого условия для функции $E_m(x_m; y_m)$ можно попасть в максимум.

[Хорхе]

Не могу представить, как может получиться локальный максимум, хотя седло представил легко. Ковырять лень. Но, как показывает пример, необходимого условия мало -- мы если фиксируем две точки, а третью двигаем, как раз ерунда и может происходить.

[Kreig]

Ясно, спасибо.