Критерии линейности. Пререзагрузка.

[prophet]

Критерии линейности. Перезагрузка.

Не секрет, что во всех естественных науках имеются нерешённые проблемы и парадоксы. Определённая часть этих противоречий возникла из-за ошибок в теоретических основах математики. Далее будет показана несостоятельность критериев линейности.
Известно, что критерии всегда используются как мерило, на основании которых производится оценка, определение или классификация чего-либо.

На данное время существует два критерия линейности:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции:

$$f(\alpha x) = \alpha f(x); $$

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого:

$$f(x_1+x_2) = f(x_1)+f(x_2). $$

Обобщённая запись этих условий (критериев) линейности имеет вид:

$$f(\alpha x_1+\beta x_2) = \alpha f(x_1)+\beta f(x_2). $$

Логика применения критериев линейности в отношении исследуемой функции проста. Если функция удовлетворяет одновременно и первому и второму критериям, то она является линейной. Во всех остальных случаях функция нелинейная.

Проверим с помощью первого и второго критериев линейности функцию вида $f(x) = kx+b,$ где $x$ - аргумент, $k$ и $b$ - константы. Пусть $x = x_1+x_2,$ $a$ – любое число.

Тогда для первого критерия при умножении аргумента на число получаем

$$f(ax) = k(ax)+b = akx+b.$$

В то же время, при умножении функции на число получаем

$$af(x) = a(kx+b) = akx+ab.$$

Результат очевиден, знак равенства между $f(ax)$ и $af(x)$ поставить нельзя.


Далее, согласно второму критерию, линейная функция суммы двух аргументов равна

$$f(x_1+x_2) = k(x_1+x_2)+b = kx+b. $$

В то же время, сумма линейных функций $f(x_1) = kx_1+b $ и $f(x_2) = kx_2+b$ равна

$$f(x_1)+f(x_2) = kx_1+b+kx_2+b = k(x_1+x_2)+2b = kx+2b. $$

Результат очевиден, знак равенства между $f(x_1+x_2) $ и $f(x_1)+f(x_2) $ поставить нельзя.

Выводы:
1) функция вида $f(x)=kx+b$ не удовлетворяет обоим критериям линейности при любом $b \ne 0$; в то же время, данная функция всем известна со школьной скамьи, её график представляет собой прямую линию, за что она и была названа линейной;

2) если установлен факт, что однозначно линейная функция вида $f(x) = kx+b$ не удовлетворяет и первому и второму критериям линейности, то это говорит о том, что применяемые в отношении неё критерии линейности несостоятельны;

3) необходимо признать ошибочность существующих критериев линейности, отказаться от их использования и принять в качестве истинного критерия линейности основное и уникальное свойство линейной функции – приращение линейной функции пропорционально приращению её аргумента(ов):

$$f(x)-f(x_0) = k(x-x_0). $$

[venco]

Как это, наверно, приятно - придумать чепуху, и разбить её в пух и прах.

[Kallikanzarid]

Критерий линейности: тупой сиквел

[Sonic86]

Баян.

prophet, почитайте в Вики, что такое омонимы. К сожалению, в математике они тоже есть.

Еще можно такую лабуду придумать: $(\bar a , \bar b)$ - скалярное произведение. Но $(\bar a , \bar b)$ - произведение векторов, значит это - векторное произведение, значит $(\bar a ; \bar b) = [\bar a ; \bar b]$, берем модули, получаем $|\cos \varphi |= |\sin \varphi|$, что неверно для всех $\varphi$, значит математика противоречива.

(Оффтоп)

Мдя, моя лабуда до лабуды ТС явно не дотягивает, тут годами тренироваться надо

[ewert]

Ну и уж до кучи:

prophet в сообщении #492293 писал(а):

Обобщённая запись этих условий (критериев) линейности

"Критерий" -- это вовсе не синоним "условия". Соответственно, словосочетание "критерии линейности" в этом контексте неграмотно.

[PAV]

Тема переносится в Пургаторий. prophet - замечание за злоупотребление цветовым выделением

-- Пт окт 14, 2011 10:15:50 --

Кстати, если бы ТС перед написанием этих откровений заглянул бы хоть в статью в википедии Линейная функция то там все четко объяснено.

[PAV]

По просьбе автора тема возвращена для дополнительного обсуждения и разъяснения суть вопроса

[hurtsy]

prophet в сообщении #492293 писал(а):

Результат очевиден, знак равенства между $f(x_1+x_2) $ и $f(x_1)+f(x_2) $ поставить нельзя.

Зачем, же останавливаться. Вперед и вверх!

$$kx+2b=k(x_1+x_2)+2b = kx_1+b+kx_2+b =f(x_1)+f(x_2) . $$

С уважением,

[prophet]

1. Спасибо PAV за мудрое решение вернуть тему обратно.

2. Спасибо Sonic86 за обстоятельный ответ в личном сообщении, касающийся математических омонимов «линейная функция» и «линейное преобразование».

3. Venco и остальным участникам форума хочу сказать, что не я придумал линейные функции и линейные преобразования, но вижу большую теоретическую ошибку, которую хочу показать. Сделать это будет непросто, но результат должен привести к переосмыслению настоящего и будущего.

4. Hurtsy Вы без ошибок разложили одну линейную функцию на две, но, согласитесь, попахивает плагиатом. Смысл данной темы лежит глубже. Как вы считаете, почему неоднородные линейные функции не удовлетворяют критериям линейности?

5. Математического туриста Kallikanzarid прошу на этом форуме не выражаться, здесь собрались серьёзные люди, и нет времени ждать пока Вы повзрослеете.

[PAV]

prophet
строгое предупреждение за переход на личности и фамильярность в отношении участника форума! Я уже начинаю жалеть о своем "мудром" решении. От Вас ожидаются не указания участникам форума, что им следует делать, а определения используемых понятий, не противоречащие общепринятым, и содержательное изложение вопроса.

[prophet]

Общепринято то, что существуют два близких, но строго говоря, разных термина:
1. "Линейная функция" $f(x)=kx+b$
2. "Линейная функция" (линейное преобразование) - такое $f$ , что

$$f(\alpha x_1+\beta x_2) = \alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$$

.
В каждое из них заложен собственный смысл.

Важно понимать, что линейное преобразование выступает в качестве аналитического инструмента для определения на предмет линейности или нелинейности объекта исследования (т.е. в качестве критерия линейности).

Например, Википедия на одной и той же странице http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F противоречит сама себе. Вверху неоднородная функция $f(x)=kx+b$ является самой линейной из всех линейных. Внизу той же страницы она уже «…не обладает свойством линейности, а именно в этом случае $f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)$ и $f(c x) \neq c f(x)$ ». Другими словами, на основе критериев линейности сделан парадоксальный вывод о том, что линейная неоднородная функция является нелинейной.

Не нужно быть семи пядей во лбу, чтобы понять, что линейное преобразование справедливо только для однородных линейных функций – единственного частного случая, и совершенно неприемлемо во всех остальных. Здесь же нужно сказать, что данное линейное преобразование, наоборот, справедливо для некоторых откровенно нелинейных функций при определённых условиях (но об этом потом, PAV велел мне быть кратким).

Таким образом, огромная работа, проделанная несколькими поколениями учёных по классификации всевозможных объектов исследования с помощью существующих критериев линейности, ставится под сомнение.

[hurtsy]

prophet в сообщении #492782 писал(а):

Hurtsy Вы без ошибок разложили одну линейную функцию на две, но, согласитесь, попахивает плагиатом.

И то хорошо. Тем не менее это не плагиат, а напоминание, что отношение равенства, как правило, имеет свойство симметричности. Ваши рассуждения имеют место только для несимметричного равенства.

prophet в сообщении #492782 писал(а):

Как вы считаете, почему неоднородные линейные функции не удовлетворяют критериям линейности?

Для обычного равенства это неверно. С уважением,

[shwedka]

Цитата:

Таким образом, огромная работа, проделанная несколькими поколениями учёных по классификации всевозможных объектов исследования с помощью существующих критериев линейности, ставится под сомнение.

Ученые несколько поколений прекрасно различают линейную функцию, и линейные преобразования. Не такие уж они тупые. А чтобы не ставить под сомнения результаты, изобретен термин 'аффинное преобразование', которое служит обобщением понятия 'линейной функции'. Так что путаница только в мозгах дилетантов.

[prophet]

hurtsy в сообщении #492865 писал(а):

prophet в сообщении #492782 писал(а):
Как вы считаете, почему неоднородные линейные функции не удовлетворяют критериям линейности?

Для обычного равенства это неверно.

Вы имели ввиду свойство коммутативности?

-- 16.10.2011, 01:20 --

shwedka в сообщении #492868 писал(а):

изобретен термин 'аффинное преобразование', которое служит обобщением понятия 'линейной функции'.

Аффинный в переводе с латинского - смежный.

Нарисуем круг на декартовой плоскости XOY. Посмотрим во что превращаются проекции на плоскости XOZ и YOZ. Круг превращается в отрезок. В то же время, аффинное преобразование подразумевает такое преобразование на смежные поверхности при которых в частности, линия 2-го порядка переходит в линию 2-го порядка, причем эллипсы переходят в эллипсы, гиперболы-в гиперболы, параболы - в параболы и т. д.

В приведённом примере с кругом, изобретённый термин А.П. даёт осечку. Подобных примеров масса.

[hurtsy]

prophet в сообщении #492883 писал(а):

Вы имели ввиду свойство коммутативности?

Разумеется, просто я не уверен, существует ли оно, в свете Ваших изысканий. С уважением,