2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сечение n-куба
Сообщение14.10.2011, 05:15 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
Задача навеяна темой http://dxdy.ru/topic49958.html.
Найти объём максимального (n-1)-сечения n-куба.

Для квадрата это $\sqrt 2$.
Для куба - $\frac{3\sqrt 3} 4$.
Для тессеракта, если не ошибаюсь, $\frac 4 3$.
Дальше не представляю, как считать, но напрашивается формула: $\frac {n\sqrt n}{2(n-1)}$. Опять-же, не представляю, как это доказать или проверить.

Есть идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение n-куба
Сообщение14.10.2011, 08:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
venco в сообщении #492292 писал(а):
Для куба - $\frac{3\sqrt 3} 4$.

А если взять 3-куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и сечение $AA_1CC_1$ то площадь сечения будет $\sqrt{2}> \frac{3 \sqrt{3}}{4}$. Правильно?
Можно, конечно, поискать $n-1$-объем того сечения, которое Вы имеете ввиду.

venco в сообщении #492292 писал(а):
Для тессеракта, если не ошибаюсь, $\frac 4 3$.

Угу, сечение - октаэдр с ребром $\sqrt{2}$.

venco в сообщении #492292 писал(а):
Есть идеи?

Использовать $n-1$-интеграл $\int \int\limits_{D_{n-1}} ... \int dV_{n-1}$ для $D_n: 0 \leqslant x_1,...,x_n \leqslant 1, x_1+...+x_n = \frac{n}{2}$. Только $dV_{n-1}$ надо выразить через $dx_1...dx_{n-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение n-куба
Сообщение14.10.2011, 09:07 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Этот вопрос задавали на Mathoverflow: Area of cross-section (at midpoint perpendicular to longest diagonal) in the unit cube of dimension N

Есть доказательство, что сечение наибольшей площади имеет площадь $\sqrt{2}$, вот ссылка: What is known about unit cubes.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение n-куба
Сообщение14.10.2011, 10:21 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Надо посчитать объём части куба (произвольной размерности), отсекаемой плоскостью, перпендикулярной диагонали куба, в зависимости от расстояния до вершины. Это -- стандартная задача; в результате получится некий сплайн. Его наклон максимален в середине диагонали, и производная в этой точке и будет максимальной площадью сечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение n-куба
Сообщение14.10.2011, 14:45 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
Не заметил, что сечение, что я имею в виду, не является максимальным.
Я хотел посчитать сечение, перпендикулярное главной диагонали, и проходящее через центр n-куба, то самое, про что сказал ewert.
Спасибо, Nilenbert, за ссылку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group