Фигура, имеющая нулевую площадь и бесконечный периметр.

[Legioner93]

Недавно придумал такую вот задачу.
Укажите плоскую фигуру (замкнутую кривую с возможными самопересечениями) в квадрате $[0,1] \times [0,1]$, имеющую строго нулевую площадь и строго бесконечный периметр.
Мои скромные мысли:
Очевидно, что существует полно фигур со сколь угодно большим периметром и сколь угодно малой площадью, однако они меня не интересуют.
Пример такой фигуры ${\Gamma}_n$:
Стоящие рядом равнобедренные треугольники с единичной высотой и основанием $\frac{1}{n^2}$ количеством $n$ штук.

Тогда площадь фигуры $\frac{1}{2n}$, периметр $>2n$
Несколько вопросов, которые могут возникнуть:
1) Что значит замкнутая кривая. Кривая Жордана: образ непрерывного инъективного отображения окружности в пространство.
2) Что значит указать фигуру (кривую). Указать её построение и доказать (если это не очевидно), что она является кривой Жордана.
Например, я не знаю, существует ли предел указанной выше последовательности кривых и является ли он кривой по Жордану. Мне кажется, что нет. Но если бы существовал, то он бы как раз и имел нулевую площадь и бесконечный периметр.
3) Что такое площадь и периметр. Меру берите какую вам угодно, если выбора зависит ответ задачи. Лично я пока знаком только с мерой Жордана. В частности, имеется подозрение, что выбрав меру Жордана, мы сможем доказать несуществование замкнутой кривой с нулевой площадью и бесконечным периметром. Вполне возможно, что это следует прямо из определения кривой.
Жду ответов. Не исключаю того, что вопрос может являться совершенно тривиальным:)

[erid]

что значит строго бесконечная величина? Как тут понимать бесконечность?

[PAV]

Чтобы получить нулевую площадь, можно взять кривую бесконечной длины и пройти ее два раза: вперед и назад. А в качестве кривой можно взять какой-нибудь фрактал, например, снежинку Коха. Вроде как это подойдет.

[Алексей К.]

PAV в сообщении #492063 писал(а):

А в качестве кривой можно взять какой-нибудь фрактал, например, снежинку Коха.

Если нужна ограниченная кривая бесконечной длины, то можно и без фракталов: спираль Корню, некоторые трактрисы окружности.

[PAV]

А что у них с площадями? Они нулевые? Тут нужна, как я понимаю, фигура с дробной размерностью между 1 и 2. Фракталы - типичные примеры.

[Legioner93]

erid в сообщении #492052 писал(а):

что значит строго бесконечная величина? Как тут понимать бесконечность?

Длина кривой больше любого действительного числа.
PAV, Алексей К.
Что касается фигуры с конечной площадью и бесконечным периметром, то вы правы - подходит снежинка Коха.
Причём она является именно замкнутой кривой в смысле Жордана, что важно (ведь является?).
Со спиралью Корню такой способ уже не работает, потому что непонятно, когда останавливаться, что бы идти назад. Ведь у неё нет ни начала, ни конца. А у снежинки есть (например точка $(...,\frac{\pi}{3})$ в полярных координатах с центром в снежинке).
Но тут вот какая проблема возникает с проходом замкнутой кривой два раза "туда и обратно". Будет ли полученный объект являтся образом непрерывного инъективного отображения окружности в пространство? Ведь тогда каждой точке снежинки будет соответствовать 2 точки окружности, а не одна (отображение не будет инъективным).
В этом и главная проблема построения фигуры с нулевой площадью (даже если забыть пока про периметр вообще). Я начинаю склонятся к мысли, что её вообще не существует из-за нарушения инъективности отображения. Но почему бы и нет:) Тем интереснее будет её всё-таки построить.

[PAV]

Так Вы же вроде как в исходной постановке не запрещали самопересечения.

[erid]

Цитата:

Длина кривой больше любого действительного числа.

(1)

Цитата:

со сколь угодно большим периметром

(2)

Цитата:

строго бесконечный периметр.

(3)

в чём же тогда отличие формулировок (1) от (2)?
Вопрос возник из за того, что в первом посте вы требуете условия (3), но как я понял вас не устраивает условие (2).
Не встречал использования "строго" в применении к "бесконечный". Как читать это выражение формально?

[PAV]

ТС имеет в виду, что для любого заданного числа $M$ он может построить фигуру, периметр которой будет конечным числом, большим $M$. В своем первом посте он привел пример последовательности таких фигур, периметры которых стремятся к бесконечности.

[_hum_]

PAV в сообщении #492101 писал(а):

ТС имеет в виду, что для любого заданного числа $M$ он может построить фигуру, периметр которой будет конечным числом, большим $M$. В своем первом посте он привел пример последовательности таких фигур, периметры которых стремятся к бесконечности.

Скорее всего он все-таки имел в виду не семейство фигур, а одну. А под бесконечным периметром понимал неспрямляемость границы.

P.S. По поводу фигуры, ограниченной жордановой кривой без самопересечений. Там разве по теореме Жордана не выходит, что такая фигура будет иметь непустую внутренность, а следовательно, не может иметь нулевую площадь?

[Legioner93]

erid
Требуется найти конкретную фигуру, длина границы которой больше любого действительного числа. Т.е. бесконечная. Как у снежинки Коха.

_hum_ в сообщении #492106 писал(а):

Скорее всего он все-таки имел в виду не семейство фигур, а одну. А под бесконечным периметром понимал неспрямляемость границы.

Да, ровно одну фигуру. Именно неспрямляемость я и имел ввиду, спасибо за уточнение

_hum_ в сообщении #492106 писал(а):

P.S. По поводу фигуры, ограниченной жордановой кривой без самопересечений. Там разве по теореме Жордана не выходит, что такая фигура будет иметь непустую внутренность, а следовательно, не может иметь нулевую площадь?

Не знаком с теоремой Жордана, не могли бы вы написать доказательство?
Что касается самопересечений - в первоначальной формулировке первого поста было и условие отсутствия оных, но потом я его убрал. Самопересечения вполне допускаются.

-- Чт окт 13, 2011 15:57:55 --

Legioner93 в сообщении #492134 писал(а):

Самопересечения вполне допускаются.

Хотя тогда нарушается инъективность или непрерывность... Или не обязательно?

[_hum_]

Legioner93 в сообщении #492134 писал(а):

Не знаком с теоремой Жордана, не могли бы вы написать доказательство?

Я не знаком с доказательством. Но, думаю, вам не составит труда его найти - как-никак результат считается "классическим".

Legioner93 в сообщении #492134 писал(а):

Что касается самопересечений - в первоначальной формулировке первого поста было и условие отсутствия оных, но потом я его убрал. Самопересечения вполне допускаются.
Хотя тогда нарушается инъективность или непрерывность... Или не обязательно?

С самопересечениями непонятно, что тогда вообще считать фигурой (какие точки к ней относить, а какие нет).

[Legioner93]

_hum_ в сообщении #492187 писал(а):

Legioner93 в сообщении #492134 писал(а):

Не знаком с теоремой Жордана, не могли бы вы написать доказательство?

Я не знаком с доказательством. Но, думаю, вам не составит труда его найти - как-никак результат считается "классическим".

Я не это имел ввиду:) Приведите, пожалуйста, доказательство отсутствия фигуры с нулевой площадью на основе этой теоремы. (*)

_hum_ в сообщении #492187 писал(а):

Legioner93 в сообщении #492134 писал(а):

Что касается самопересечений - в первоначальной формулировке первого поста было и условие отсутствия оных, но потом я его убрал. Самопересечения вполне допускаются.
Хотя тогда нарушается инъективность или непрерывность... Или не обязательно?

С самопересечениями непонятно, что тогда вообще считать фигурой (какие точки к ней относить, а какие нет).

Действительно. Но это уже не важно. Чтобы мы не выбрали за фигуру, из (*) следует что и она должна иметь конечную площадь, если не ошибаюсь.

[_hum_]

Legioner93 в сообщении #492202 писал(а):

Приведите, пожалуйста, доказательство отсутствия фигуры с нулевой площадью на основе этой теоремы. (*)

По теореме Жордана, если я все правильно понимаю, кривая разбивает плоскость на два открытых множества. А открытое множество на плоскости не может иметь нулевую площадь, поскольку (как следует из определения открытости) содержит в себе кружки ненулевых радиусов (а значит, и ненулевых площадей).

[Legioner93]

Если формулировка теоремы действительно такая, то все вопросы сразу снимаются.