Найти расстояние от точки до плоскости, заданной 3-мя точкам

[Guarava]

Уважаемые форумчане!
Подскажите,пожалуйста, правильно ли решила задачу.
Найти расстоние от точки D (0;0;0) до плоскости,проходящей через точки А (3,2,1), В (7,1,2) и С (7,4,4).
Уравнение плоскости через 3 точки
$-5x-8y+12z+11=0$
тогда исходя формулы $\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$ расстояние равно $\displaystyle \rho=\frac{\vert 11\vert}{\sqrt{233}}.$но что то меня смущает такая цифра...

[RIP]

Уравнение плоскости найдено неверно. Хотя A,B,C верные, вроде.

[Guarava]

спасибо,попробую поискать где ошиблась

[RIP]

233, вроде по существу.

[Guarava]

Перерешала,получилось вот что -5х+8y +12z+44=0
тогда получается ответ 44 деленное на корень из тех же 233.((((( где то я ошибаюсь... а где..

[RIP]

Опять просчитались

[Brukvalub]

Написав какое-либо уравнение плоскости, можно для самоконтроля подставить в него координаты точек этой плоскости, которые у Вас изначально даны. Точно также можно найти свободный член этого уравнения, зная коэффициенты А, В, С.

[Guarava]

загвоздка какая то... надо наверное не на работе решать))
Составляю в 3-й раз заново уравнение- получается тоже самое...
С проверкой загвозка какая то выходит..

Добавлено спустя 2 часа 5 минут 33 секунды:

уфф!
-5x-8y+12z+19=0 уравнение плоскости.
Значит получается расстояние 19 деленное на тот же корень из 233.
Теперь вроде правильно(проверяла уравнение ,подставляя известные координаты точек) .. Или я опять ошиблась??

[bot]

Теперь правильно, но можно и без уравнения плоскости обойтись. Всего два определителя посчитать надо.
Считаем объём тетраэдра OABC:
$6V$=(модулю определителя, составленного из координат точек A,B,C)=19.
Считаем площадь треугольника ABC:
$2S$=(модулю векторного произведения векторов AB и AC)=$|5i+12j-8k|=\sqrt{233}$.
Из формулы $V=\frac{1}{3}Sh$ находим искомое расстояние $h=\frac{19}{\sqrt{233}}$.

[Guarava]

УРА!!! Спасибо что есть такой замечательный форум и люди,знающие математику!!! Осталось всего 9 задачек
Надеюсь что мне не откажут в помощи и наставят на путь правильного решения!

[RIP]

Раз пошла такая пьянка, то достаточно посчитать 1 определитель. Ведь векторное произведение векторов $AB$ и $AC$-перпендикуляр к плоскости $ABC$. После этого уравнение плоскости пишется автоматически.

[bot]

Знал, что это заметят.
Ну тогда уж не 1 третьего, а три определителя второго порядка.
Скобки в уравнении 5(x-3)+12(y-2)-8(z-1)=0 можно не раскрывать, а то опять 11 может получиться вместо 19.
Упс, теперь 31 получилось, ... бу-га-га
Ага, вот оно - координаты в векторном произведении переставлены.
Надо $5i+8j-12k$
Соответственно уравнение плоскости $5(x-3)+8(y-2)-12(z-1)=0.$
На ответ вчера это не повлияло.

[Guarava]

ох,ничего себе сколько вариантов решений ! Наверное я шла от того,что самое простое и по учебникам

[bot]

Guarava писал(а):

ох,ничего себе сколько вариантов решений ! Наверное я шла от того,что самое простое и по учебникам

Вам ещё не все показали, даже из того, что есть в учебниках.