Маленький вопрос по теории галуа.

[David Sunrise]

Задача:Поле $K$ содержит все корни $n$-ой степени из еденицы, характеристика поля $K$ не равна $n$,элемент $a$ поля $K$ не является $n$-ой степенью в $K$.Доказать что многочлен $x^n-a$ не разложим.

Из условий задачи вытекает что группа галуа $x^n-a$ циклична, нужно ли этим пользоваться?(если нет то с помощью чего и как это доказать?)и вообще что значит что она циклична (определение цикличной группы я знаю),т.е... какие следствия можно из этого извлечь?

-- Вт окт 11, 2011 15:59:59 --

И еще может в задаче имелось в виду что $n$ - простое число?(прямым текстом в оригинале такого не написало,но в оригинале в место обозначения $n$ автор использует $p$)

[nnosipov]

Вот точная формулировка задачи, которую Вас просят решить. Пусть $p$ --- простое число, $F$ --- поле, в котором уравнение $x^p-1=0$ имеет $p$ корней (в частности, характеристика $F$ отлична от $p$). Предположим, что $a \in F$ таков, что уравнение $x^p-a=0$ не имеет корней в поле $F$. Требуется доказать, что многочлен $x^p-a$ неприводим над $F$. (Для не простых $p$ это утверждение было бы неверным: возьмём $p=4$, $F=\mathbb{Q}(i)$, $a=4$.)
Для доказательства рассмотрите некоторое расширение $L$ поля $F$, в котором многочлен $x^p-a$ имеет корень $\alpha$. Напишите разложение многочлена $x^p-a$ над $L$, после чего доказывайте неприводимость этого многочлена над $F$ от противного. (Без теории Галуа здесь вполне можно обойтись.)