Задачка на принцип максимума модуля

[tranced]

Доброго времени суток. Помогите с задачкой...
Дано:
Есть целая аналитическая функция $ f(z)=C_0+C_1 z+C_2 z^2+...+C_m z^m+...+C_n z^n $
$ \max|f(z)|=M(r) $
$ z \in C $
Доказать:
$ |C_m||z^m| \le M(r) $

[ewert]

Это неравенство Коши и, соответственно, доказывается не из принципа максимума модуля, а из интегральной формулы Коши (из которой, между прочим, следует и принцип максимума модуля):

$$C_m=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{|z|=r}\frac{f(z)\,dz}{z^{m+1}}\,.$$

[tranced]

Я затрудняюсь с решением этого интеграла. Не могли бы Вы помочь с литературой на эту тему? :/

[ewert]

Как я только что сказал (в очередной раз), никакой интеграл решить вообще невозможно. А этот так и вовсе надо даже и не "решать", а оценивать, причём очевидным образом:

$$|C_m|\leqslant\frac{1}{2\pi}\oint\limits_{|z|=r}\frac{|f(z)|}{|z|^{m+1}}\,dl\leqslant\frac{1}{2\pi}\,\frac{M(r)}{r^{m+1}}\cdot2\pi r=\frac{M(r)}{|z|^{m}}\,.$$

[tranced]

Простите за мою глупость, но почему $\frac{1}{2\pi}\,\frac{M(r)}{r^{m+1}}\cdot2\pi r=\frac{M(r)}{|z|^{m}}\,$ ?

[ewert]

Просто потому, что на окружности (по определению окружности) $|z|=r.$