Борелевские множества вещественной прямой

[xmaister]

Здравствуйте! Нужно доказать, что семейство всех борелевских множеств вещественной прямой можно представить в виде объединения $\bigcup\limits_{\alpha<\omega_1}\mathcal{F}_\alpha$, где $\mathcal{F}_0$- семейство всех замкнутых множеств, $\mathcal{F}_\alpha$ состоит из всех счётных объединений множеств вида $\bigcup\limits_{\xi<\alpha}\mathcal{F}_\xi$, когда $\alpha$- нечетный ординал, и из всех счётных пересечений множеств вида $\bigcup\limits_{\xi<\alpha}\mathcal{F}_\xi$, когда $\alpha$-четный ординал.
Помогите хотя бы начать.

Благодарю!

[Хорхе]

0) У Вас какая-то путаница с объединениями/пересечениями. К тому же, там, где написано "множеств вида", вида никакого нет, а стоит одно конкретное множество.

1) А что такое нечетный ординал? Это $\xi+2n$, где $\xi$ --- предельный?

[xmaister]

Хорхе в сообщении #490876 писал(а):

0) У Вас какая-то путаница с объединениями/пересечениями. К тому же, там, где написано "множеств вида", вида никакого нет, а стоит одно конкретное множество.

Так $\mathcal{F}_0$- задано

Хорхе в сообщении #490876 писал(а):

) А что такое нечетный ординал? Это $\xi+2n$, где $\xi$ --- предельный?

Да

-- 09.10.2011, 15:26 --

Мне думается, что тут трансфинитная индукция как то должна использоваться, но не могу понять как...

[Someone]

xmaister в сообщении #490884 писал(а):

Мне думается, что тут трансфинитная индукция как то должна использоваться, но не могу понять как...

Насчёт трансфинитной индукции сомневаюсь. А вот тот факт, что для каждого не более чем счётного множества не более чем счётных ординалов существует счётный ординал, который больше всех элементов этого множества, может быть полезен.

[Хорхе]

$\mathcal F_0$ задано и что? Так, как у Вас написано, $\mathcal F_\xi = \mathcal F_0$ для всех $\xi$. И, повторюсь, даже если понимать, "как надо", путаница объединений с пересечениями.

Да, индукция ни при чем. Надо просто доказать, что записанная штука является $\sigma$-алгебра, и в этом поможет факт, приведенный Someone.

[xmaister]

Хорхе в сообщении #490921 писал(а):

Да, индукция ни при чем. Надо просто доказать, что записанная штука является $\sigma$-алгебра, и в этом поможет факт, приведенный Someone.

Что такое $\sigma$-алгебра? Скажите, в какой литературе можно с ней ознакомится?

[Joker_vD]

xmaister
$\sigma$-алгеброй называется система подмножеств $\mathcal F$ некоторого множества $X$, удовлетворяющая следующим условиям:

1) $\varnothing,X\in\mathcal F$;
2) Если $A\in\mathcal F$, то и $X\mathbin{\diagdown} A\in\mathcal F$;
3) Если семейство множеств $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathcal F$, то и его объединение $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal F$

[xmaister]

Тогда я что-то не понимаю, при чём тут $\sigma$-алгебра. Нужно же доказать, что семейство борелевских подмножеств представимо в виде $\bigcup\limits_{\alpha<\omega_1}\mathcal{F}_\alpha$

(Оффтоп)

Извините за делитанство, я просто недавно начал изучать топологию

[Хорхе]

Если Вы не знаете, что такое $\sigma$-алгебра, то как Вы можете решать задачи про борелевские множества? Что такое вообще для Вас борелевское множество?

[Padawan]

Посмотрите Хаусдорф "Теория множеств", там требуемое утверждение доказано.