Доказать несуществование отображения

[nastya_m]

Помогите, пожалуйста, решить такую задачу (доказать, что отображения с таким свойством не существует).

Существуют ли отображение $F:\mathbb{R}^n \to\mathbb{R}^m$ (для некоторых $n$, $m$) и непустое открытое подмножество $D\subset\mathbb{R}^n$,
такие, что для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что для всех $x,z\in D$
из условия $0<\|x-z\|<\delta$ следует $\|F(x)-F(z)\|>1/\varepsilon$ ?

И еще один вопрос. Что будет, если отказаться от открытости множества $D$ и потребовать лишь, чтобы множество $D$ было бесконечным?

[mihailm]

Берем отрезок длины меньше дельта из этого открытого подмножества, образ этого отрезка должен быть каким? дискретным множеством расстояние в котором между любыми точками больше константы,
полная фигня получили противоречие)

Насчет второго вопроса тоже ясно, счетности не хватит
P.S. точнее хватит)

[nastya_m]

Спасибо. Но почему образ отрезка будет дискретным множеством?
Насчет второго вопроса мне не ясно: почему хватит счетности?

[mihailm]

nastya_m в сообщении #491004 писал(а):

Спасибо. Но почему образ отрезка будет дискретным множеством?
...

По приведенному условию

nastya_m в сообщении #491004 писал(а):

...
Насчет второго вопроса мне не ясно: почему хватит счетности?

Не почему, а для чего)

[nastya_m]

С первым вопросом теперь ясно. Просто мне было неизвестно, что если расстояние между двумя различными точками множества больше некоторого числа, то это множество не более чем счетно.

Но таким путем нельзя доказать второе. Так для чего все-таки хватит счетности?

[PAV]

Ну если $D$ может быть неограниченным, тогда вообще все просто - его можно сделать состоящим из счетного числа изолированных точек, так что достаточно малая проколотая окрестность любой точки будет просто пустой. Но и с ограниченным счетным тоже сделать несложно.

[nastya_m]

Т.е. я так понимаю, ответ в случае счетного множества $D$ положителен: "да, существует такое отображение"?

[PAV]

Да, существует.

-- Вс окт 16, 2011 10:43:35 --

Хотя правда тот пример, о котором я думал, для случая ограниченного счетного множества - не годится. Если такое и существует, то что-то более хитрое. Однако для неограниченного очевидно что подойдет множество, состоящее из изолированных точек, хотя это и явно вырожденный случай.

[nastya_m]

Теперь понятно. В случае отображения из $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ качестве $D$ может подойти последовательность $\{\frac{1}{n}\}$, и $F(\frac{1}{n})=n!$