Ортогональность поля и его ротора.

[Morkonwen]

Привыкнув к электродинамике как то все время думал, что ротор поля всегда перпендикулярен самому полю, но например для поля $\vec{A}(x,y,z)=y\, \vec{e_x}+z\,\vec{e_y}$ величина $\vec{A}\,rot{\vec{A}} =-1$, что нулю не равно. Более того, даже $div(\vec{A})=0$ и все же поле не ортогонально своему ротору! Сдается мне, что A должно подчинятся волновому уравнению, но как это доказать не знаю.

[alcoholist]

Вы просто хотите найти общее решение уравнения $\vec{A}\cdot {\rm{rot}}{\vec{A}} =0$?

[Morkonwen]

Скорее получить какое-то понятное физически дифферинциальное условие. Что то типа "у поля не должно быть источников" (здесь это не так).

[alcoholist]

хм... школьная физика редко переваривает нелинейные уравнения

[mihiv]

Пусть для вектора $\vec A$ выполнено условие $\vec Arot\vec A=0$,и пусть $\vec b$-постоянный вектор,такой,что $\vec brot\vec A\ne 0$,тогда

$$\vec A_1rot\vec A_1\ne 0\qquad (1)$$

,где $\vec A_1=\vec A+\vec b$,так что условие (1) не есть что-то исключительное.При этом $\vec A_1$ может удовлетворять и волновому уравнению.

[alcoholist]

хм... представьте себе такое в.п., ротор которого всё время в одной плоскости (ортогональной вектору $\vec{b}$) или это уже решение?

[Morkonwen]

alcoholist в сообщении #491408 писал(а):

хм... школьная физика редко переваривает нелинейные уравнения

Если вы не видите в утверждении
$\vec{A}rot(\vec {A})= 0$ ничего кроме нелинейного уравнения, то вам двойка. Или что, у вас есть общее решение?

mihiv в сообщении #491478 писал(а):

Пусть для вектора $\vec A$ выполнено условие $\vec Arot\vec A=0$,и пусть $\vec b$-постоянный вектор,такой,что $\vec brot\vec A\ne 0$,тогда ...

Спасибо, хороший пример, правда $A_1$ не удовлетворяет волновому уравнению $\Delta \vec{A_1}+k^2 \vec{A_1}=0$ поскольку постоянный вектор b ему точно не удовлетворяет(при $k\ne 0$)

Кстати, если говорить об электродинамике, то если электрический вектор это A то его ротор это грубо говоря магнитный вектор (вообще они комплексные, и тогда проверяется их ортогональность в каждый момент времени в каждой точке)

Так вот даже две плоские полны с одинаковым по модулю волновым вектором k(но не по направлению),
в сумме дадут решение для которого $\vec{A}rot(\vec {A})\ne0$ так что это равенство вообще уникальный случай и почему я так думал не знаю =(