Идиотский вопрос про нормальные подгруппы

[ean]

Утверждение: чтобы подгруппа $H$ группы $G$ была нормальной необходимо и достаточно, чтобы $\forall h \in H \forall g \in G: gh=hg$.
Необходимость показывается просто, а достаточность не могу показать.
$H$ - нормальная, следовательно $gH=Hg$, следовательно $\exists h_1, h_2 \in H: gh_1 = h_2g$, не могу понять, почему $h_1=h_2$.

[Joker_vD]

А оно разве верно? Формула справа утверждает, что всякая нормальная подгруппа является, в частности, абелевой группой. Но, к примеру, $SL(3,\mathbb Z_2)$ является нормальной неабелевой подгруппой группы $GL(3,\mathbb Z_2)$.

[ean]

Joker_vD в сообщении #490804 писал(а):

А оно разве верно? Формула справа утверждает, что всякая нормальная подгруппа является, в частности, абелевой группой. Но, к примеру, является нормальной неабелевой подгруппой группы .

Ох, 2 дня с этим мучался. Спасибо большое.

[alcoholist]

ean в сообщении #490791 писал(а):

Утверждение: чтобы подгруппа $H$ группы $G$ была нормальной необходимо и достаточно, чтобы $\forall h \in H \forall g \in G: gh=hg$.

равносильно тому, что $H$ -- подгруппа центра

[ean]

Ещё один идиотский вопрос из той же области:
Рассматриваем $\sim$ отношение эквивалентности согласованное с умножением в группе (т.е. $a\sim b, c\sim d \Rightarrow ac\sim bd$). Утверждение $a\sim b \Rightarrow a^{-1} \sim b^{-1}$.
$e \sim e \Rightarrow aa^{-1} \sim bb^{-1}$, а дальше?

[Joker_vD]

Не туда пошли. $aa^{-1}\sim ba^{-1}$, теперь умножайте слева на $b^{-1}$

P.S. Такое отношение эквивалентности иногда называют конгруэнцией.