Обобщённые функции умеренного роста

[MaximVD]

На всякий случай (для однозначности трактовки) сначала напишу определения. Назовём бесконечно дифференцируемую на всех оси функцию $f$ быстро убывающей, если для любых $p, q \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ функция $f^{(q)}(t) t^p$ ограничена.
Пусть $S$ - множество бесконечно дифференцируемых на $\mathbb{R}$ быстро убывающих функций. ($S$ часто называют пространством Шварца). Введём в $S$ систему преднорм: если $\varphi \in S$, то положим $\| \varphi \|_{p,q} = \max_{t \in \mathbb{R}} |{\varphi}^{(q)}(t) t^p|$, где $p, q \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$. Эта система преднорм порождает в $S$ некоторую топологию, которую мы обозначим $s$. Пространство сопряжённое к $(S, s)$ называется пространством обобщённых функций умеренного роста.

Требуется доказать следующий факт: функция $\widehat{f}(\varphi) = \int_{\mathbb{R}} f(t) \varphi(t) \, dt$, где функция $f \in C(\mathbb{R})$, $\varphi \in S$ является обобщённой функцией умеренного роста тогда и только тогда, когда функция $f$ имеет степенной рост, т. е. существуют $C>0$ и $p \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ такие, что $|f(t)| \le C ( 1 + |t|^p )$.

В одну сторону утверждение довольно очевидно. Если функция $f$ имеет степенной рост, то функция $g(t) = \dfrac{f(t)}{1 + |t|^{p+2}}$ (где $p$ из определения степенного роста) интегрируема на $\mathbb{R}$. Отсюда

$$ |\widehat{f}(\varphi)| = \left| \int_{\mathbb{R}} g(t) ( 1 + |t|^{p+2}) \varphi(t) \, dt \right| \le \left( \int_{\mathbb{R}}|g(t)|\, dt \right) \max\{ \| \varphi \|_{0,0}, \| \varphi \|_{p+2, 0} \}, $$

Отсюда ясно, что $\widehat{f}$ является обобщённой функцией умеренного роста.

В обратную сторону доказать не удаётся. Подскажите какие-нибудь идеи, пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

MaximVD в сообщении #490462 писал(а):

На всякий случай (для однозначности трактовки) сначала напишу определения. Назовём бесконечно дифференцируемую на всех оси функцию $f$ быстро убывающей, если для любых $p, q \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ функция $f^{(q)}(t) t^p$ ограничена.
Пусть $S$ - множество бесконечно дифференцируемых на $\mathbb{R}$ быстро убывающих функций. ($S$ часто называют пространством Шварца). Введём в $S$ систему преднорм: если $\varphi \in S$, то положим $\| \varphi \|_{p,q} = \max_{t \in \mathbb{R}} |{\varphi}^{(q)}(t) t^p|$, где $p, q \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$. Эта система преднорм порождает в $S$ некоторую топологию, которую мы обозначим $s$. Пространство сопряжённое к $(S, s)$ называется пространством обобщённых функций умеренного роста.

Требуется доказать следующий факт: функция $\widehat{f}(\varphi) = \int_{\mathbb{R}} f(t) \varphi(t) \, dt$, где функция $f \in C(\mathbb{R})$, $\varphi \in S$ является обобщённой функцией умеренного роста тогда и только тогда, когда функция $f$ имеет степенной рост, т. е. существуют $C>0$ и $p \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ такие, что $|f(t)| \le C ( 1 + |t|^p )$.

В одну сторону утверждение довольно очевидно. Если функция $f$ имеет степенной рост, то функция $g(t) = \dfrac{f(t)}{1 + |t|^{p+2}}$ (где $p$ из определения степенного роста) интегрируема на $\mathbb{R}$. Отсюда

$$ |\widehat{f}(\varphi)| = \left| \int_{\mathbb{R}} g(t) ( 1 + |t|^{p+2}) \varphi(t) \, dt \right| \le \left( \int_{\mathbb{R}}|g(t)|\, dt \right) \max\{ \| \varphi \|_{0,0}, \| \varphi \|_{p+2, 0} \}, $$

Отсюда ясно, что $\widehat{f}$ является обобщённой функцией умеренного роста.

В обратную сторону доказать не удаётся. Подскажите какие-нибудь идеи, пожалуйста.

Попробуем построить контрпример. Рассмотрим функцию $f(x)=1-|x|$ если $|x|<1$ и $f(x)=0$ для остальных $|x|\ge 1$.
Возьмем функцию $g(x)=\sum_{n=1}^\infty e^nf(e^{2n}(x-n))$ Рост функции $g$ более чем полиномиальный и $g\in L^1(\mathbb{R})\cap C(\mathbb{R})$.
Функционал $\varphi\mapsto \int_{\mathbb{R}}g(x)\varphi(x)dx$ непрерывен на $\mathcal {S}(\mathbb{R})$.

[MaximVD]

Oleg Zubelevich
Благодарю за контрпример!