Пусть
![$\sum^\infty_{n=1} u_n =s$ $\sum^\infty_{n=1} u_n =s$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/9/329a8f0dad7b1171918d1d56ad684cd982.png)
- условно сходящийся ряд и число
![$s'>s.$ $s'>s.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/5/685a52289ccd5dbae9df8b67232f6b8482.png)
Тогда найдется перестановка натуральных чисел
![$\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ $\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/4/184efb5f387824eda3952ffbb868030382.png)
такая, что
1) если
![$u_n\geq 0,$ $u_n\geq 0,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/a/aba7808e8d8296a6b8403876ff556c0682.png)
то
![$\sigma(n)=n;$ $\sigma(n)=n;$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/c/41c13654177833886fa4a9283e3a7b4982.png)
2)
![$\sum^\infty_{n=1} u_{\sigma(n)} =s'.$ $\sum^\infty_{n=1} u_{\sigma(n)} =s'.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/2/aa2e59a4e0f5ebd08f8554eae15471ff82.png)
Я пытаюсь строить перестановку следующим "индуктивным" образом. Пусть
![$I^-=\{n\in \mathbb{N}: u_n< 0\}.$ $I^-=\{n\in \mathbb{N}: u_n< 0\}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/5/c65714ab79295bc0965490455d7779c782.png)
Существует бесконечное подмножество
![$F\subset I^-,$ $F\subset I^-,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/f/33f9c7bbfa0aea4f111099e95caeff4782.png)
для которого
![$\sum_{n\in F} u_n >-\infty.$ $\sum_{n\in F} u_n >-\infty.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/6/506e53df71d4ce333a3bb98fa186c13e82.png)
Определяем перестановку
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
по очереди для всех натуральных чисел: для чисел
![$n\in I^+$ $n\in I^+$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/0/8109c18c1993314814ff11f6695990b782.png)
положим
![$\sigma(n)=n;$ $\sigma(n)=n;$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/c/41c13654177833886fa4a9283e3a7b4982.png)
а все первые
![$n\in I^-$ $n\in I^-$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/7/a476321cf61ad647845c1e9a2073a91082.png)
монотонно отображаем на
![$F.$ $F.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/9/0e9baada55cb7f54930a5b7a37124dd582.png)
Пусть
![$n_1$ $n_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/7/3c7e3568fa1625fede3ff436bfec732d82.png)
- первое натуральное число, для которого
![$\sum^{n_1}_{n=1} u_{\sigma(n)}> s'.$ $\sum^{n_1}_{n=1} u_{\sigma(n)}> s'.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/c/73c786c78b8c9926e3f8ab73ba21540c82.png)
Такое обязательно найдется, потому что
![$\sum_{n\in F} u_n >-\infty.$ $\sum_{n\in F} u_n >-\infty.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/6/506e53df71d4ce333a3bb98fa186c13e82.png)
После номера
![$n_1$ $n_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/7/3c7e3568fa1625fede3ff436bfec732d82.png)
числа
![$n\in I^-$ $n\in I^-$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/7/a476321cf61ad647845c1e9a2073a91082.png)
монотонно отображаем на неиспользованные элементы
![$I^-.$ $I^-.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/6/7e61c8e801e98380c77d8704f310dd9a82.png)
Пусть
![$n_2$ $n_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/f/3ff44da77b122337fa0f84a268ccf93282.png)
- первый номер после
![$n_1,$ $n_1,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/2/9e285c31d7248e85363597869b68437882.png)
для которого
![$\sum^{n_2}_{n=1} u_{\sigma(n)}< s'.$ $\sum^{n_2}_{n=1} u_{\sigma(n)}< s'.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/6/756e4f69bf0feb6b46ff53c4416b607482.png)
Такой обязательно есть, потому что иначе мы бы получили перестановку натурального ряда, равную с некоторого места тождественной. Такие перестановки суммы не меняют и частичные суммы сходятся к
![$s<s'.$ $s<s'.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/2/e02cf0da16bac71a2b1f77f071f80d4682.png)
На следующем шаге опять вместо
![$n\in I^-$ $n\in I^-$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/7/a476321cf61ad647845c1e9a2073a91082.png)
ставим элементы
![$F,$ $F,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/c/c7c4543048c64d1651351f8eec750e1482.png)
пока частичные суммы не станут больше
![$s',$ $s',$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/6/086c77c8e1e714aa55fc9e5f3777aeb582.png)
и т.д. Чтобы доказать сходимость такой перестановки ряда к
![$s'$ $s'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/5/675c2f5707a1fa7050c12adc1872ba3282.png)
надо, видимо, использовать фундаментальность частичных сумм исходного ряда, но у меня не получается строго это сделать(
Уважаемые участники форума, помогите, пожалуйста, установить сходимость полученной перестановки к
![$s'.$ $s'.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/e/09e19deb79d4aed2abac7983c4a4971a82.png)